Ola Ricardo e demais colegas desta lista ... OBM-L, Sim, existe. E trata-se de uma das mais belas formulas em teoria elementar dos numeros. Nos a devemos a um dos irmaos Bernoulli, mas nao me recordo agora se foi o Joham ou o Jacques que a descobriu. Se definirmos os NUMEROS DE BERNOULLI pela recorrencia :
B(0) = 1 Si[0 .. N, Binom(N+1,i)*B(i)] = 0, onde Si e o somatorio com indice "i" Entao : 1^P + 2^P + 3^P + ... + N^P = ((N + B)^P - B^P)/(P+1), onde: (N + B)^P deve ser expandido da forma usual (usando o Binômio de Newton), mas B^i deve ser interpretado como o i-ésimo número de Bernoulli. Alguns exemplos de numeros de Bernoulli : Sabendo B(0) = 1, vem: Binom(2,0)*B(0) + Binom(2,1)*B(1) = 0 => B(1) = -1/2 Sabendo B(0) e B(1), vem : Binom(3,0)*B(0) + Binom(3,1)*B(1) + Binom(3,2)*B(2) = 0 => B(2) = 1/6 E assim sucessivamente ... Na formula acima, conforme eu ja falei, devemos desenvolver (N+B)^P usando o Binomio de Newton e, a seguir, substituir todo B^i pelo i-esimo numero de bernoulli, calculados previamente conforme mostrei acima. Por exemplo, para acharmos uma formula fechada para S = 1^10 + 2^10 + ... + N^10 precisaremos desenvolver (N+B)^10, ou seja, usar a formula de recorrencia para calcular ate o decimo numero de Bernoulli. Bom, preciso ir. God Blesses you Um Abracao Paulo Santa Rita 3,160D,130207 > From: [EMAIL PROTECTED] > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Somatorio da k-ésima potencia > Date: Tue, 13 Feb 2007 15:31:43 -0300 > > Alguem sabe se existe uma formula fechada para 1^k + 2^k+...+n^k, onde k > eh um natural qualquer? > > para k=1, 2, 3 a formula eh bastante simples. Gostaria de saber se tem uma > que valha para todo k. > > Grato pela atencao > Ricardo _________________________________________________________________ Busque em qualquer página da Web com alta proteção. Obtenha o Windows Live Toolbar GRATUITO ainda hoje! http://toolbar.live.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
