Hm, o lema não sei se está certo (vou pensar), mas dá para resolver o problema sem ele.
AB = A + B é equivalente a (A - I)(B - I) = I, onde I é a identidade. Logo B - I é a inversa de A - I. Como A^2001 = 0 <=> A^2001 - I = -I <=> (A - I)(A^2000 + A^1999 + ... + A + I) = -I, B - I = -A^2000 - A^1999 - ... - A - I e, portanto, B = -(A + A^2 + ... + A^2000) = -A(I + A + ... + A^1999), cujo determinante é igual a detA vezes det(-(I + A + ... + A^1999)), ou seja, detB = 0. []'s Shine ----- Original Message ---- From: Jhonata Ramos <[EMAIL PROTECTED]> To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, February 19, 2007 2:00:43 PM Subject: [obm-l] duvida - Vietnam Undergraduate Mathemtics Competition 2001 Pessoal, tava olhando essa questão: Let be given two matrices A, B from M_n(R) such that A^2001 = 0 and AB = A+B. Show that det(B) = 0. Source VUMC 2001 Vi uma solução que o cara fala o seguinte: A^2001=0 => A is nipoltent detA=0 lemma: If X,Y commute, Y nilpotent then det(X+Y)=detX Gostaria de saber o que significa, nipoltent (não a tradução :) e se o lemma dele ali é verdadeiro, Forte abraço, Jhonata Emerick Ramos ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ____________________________________________________________________________________ Never Miss an Email Stay connected with Yahoo! Mail on your mobile. Get started! http://mobile.yahoo.com/services?promote=mail ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================