De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: Data:Thu, 1 Mar 2007 10:56:56 -0300 Assunto:Re: [obm-l] Re: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica. > Vou aproveitar a soma trigonométrica e pedir novamente uma ajuda com o > produto trigonométrico sen(kPI/n), k indo de 1 até n-1. Sei que o > resultado dá n/2^(n-1) mas não encontrei nenhuma maneira de > demonstrar. Qualquer ajuda eu agradeço. > > Abraços. > > Douglas > O truque neste caso é fatorar x^(2n) - 1 na forma: (x - 1)*(x + 1)*Produto(k=1...n-1) (x^2 - 2*cos(k*pi/n)*x + 1) Justificativa: As raízes de x^(2n) - 1 são complexos da forma cis(k*pi/n) (0<=k<=2n-1) No entanto, observe que cis(k*pi/n) e cis((2n-k)*pi/n) = cis(-k*pi/n) são complexos conjugados (inclusive quando k = 0 ou k = n ==> x = 1 ou -1, respectivamente) Logo, para k <> 0 e k <> n, os fatores: (x - cis(k*pi/n)) e (x - cis(-k*pi/n)) podem ser multiplicados, resultando em: x^2 - 2*cos(k*pi/n)*x + 1. A outra fatoração de x^(2n) - 1 é (ou deveria ser) bem conhecida: (x^2 - 1)*(x^(2n-2) + x^(2n-4) + ... + x^2 + 1) Logo, obtemos a identidade: Soma(k=0...n-1) x^(2k) = Produto(k=1...n-1) (x^2 - 2*cos(k*pi/n)*x + 1) Fazendo x = 1, obtemos: n = Produto(k=1...n-1) (2 - 2*cos(k*pi/n)) = 2^(n-1)*Produto(k=1...n-1) (1 - cos(k*pi/n)) Fazendo x = -1, obtemos: n = 2^(n-1)*Produto(k=1...n-1) (1 + cos(k*pi/n)) Multiplicando as duas expressões obtidas, vem: n^2 = 2^(2n-2)*Produto(k=1...n-1) (1 - cos^2(k*pi/n)) ==> n^2 = 2^(2n-2)*Produto(k=1...n-1) sen^2(k*pi/n) ==> (como todos os senos são positivos, podemos igualar as raízes quadradas dos dois lados) n = 2^(n-1)*Produto(k=1...n-1) sen(k*pi/n) ==> Produto(k=1...n-1) sen(k*pi/n) = n/2^(n-1) *** Usando a mesma identidade, você também pode calcular: Produto(k=1...n-1) cos(k*pi/n) Neste caso, quem deve ser x? [], Claudio.
