*Prezados Artur*
**
*Da sua exposição entendo que a cardinalidade própria do contínuo é devida
aos transcendentes, posto que os números algébricos, racionais ou
irracionais, são enumeráveis. Porem os transcendentes, por sua vez
,compreendem os aleatórios e os demais transcendentes não aleatários, sendo
esses últimos (ignoro se têm um nome genérico) aqueles transcendentes que,
tais como "Pi", "e", "Fi" , todas as funções trigonométrricas e muitas
outras mais, podem ser descritos por um algoritmo com um número finito de
passos. Tais números parece-me que também são enumeráveis, um vez que os
algoritmos que os descrevem são compostos de proposiçãoes e essas de
palavras, que, por sua vez são agregados de um número finito de letras e
simbolos. Então a conclusão seria de que a existencia dos números
transfinitos se deve , por via de consequência, à admissão da existência
dos números aleatários. Estou certo?*
*E admitindo a existência desses números, os aleaórios, teríamos uma
situação singular em que definimos uma classe mas somos incapazes de nomear
sequer um membro da mesma. Não é extranho ?
Desde já desculpe se tomei seu tempo e falei alguma coisa descabida. Não
sou matemático.*
**
*Fernando
*
Em 04/04/07, BRENER <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
ola, estou precisando de uma ajudinha para resolver a integral abaixo
int (0-->+00) ( arctan(pi.x)-arctan(x))/x dx
----- Original Message -----
*From:* Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
*To:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Sent:* Wednesday, April 04, 2007 10:24 AM
*Subject:* [obm-l] RES: [obm-l] Análise
Bom dia Andre
Vou ajudar no exercicio 2. Os outros 2 tem em quase todos os livrois de
analise.
(2) - Seja P o conjunto dos polinomios com coeficientes inteiros. Para
cada inteiro n >=0 (incluindo os polinomios constantes, de grau 0), seja P_n
o conjunto dos polinomios de coeficientes inteiros do grau n. A
cada elemento de P_n corresponde um e somente corresponde um vetor de
Z^(n+1) (z1, z2....z_(n+1)), no qual z1 <>0 e cujas componentes sao os
coeficientes do polinomio a partir do coeficiente lider. Por outro lado, a
cada elemento de Z^(n+1) com a primeira componente nao nula corresponde um e
somente um elemento de P_n, Hah, assim, uma bijecao entre P_n e um
subconjunto do enumeravel Z^(n+1), do que concluimos que P_n eh enumeravel.
Temos que os P_n, por forca de suas definicoes, sao disjuntos 2 a 2 e que
P = Uniao (n= 0, oo) P_n. Assim, P eh dado por uma uniao enumeravel de
conjuntos enumeraveis, o que implica que seja enumeravel.
Seja A o conjunto dos numeros algebricos. A cada elemento P_i de P, acima
definido, corresponde um conjunto finito R_i, composto pelas suas
raizes, incluindo as complexas nao reais. Todo elemento de A eh raiz de
algum P_i e, portanto, pertence ao correspondente R_i. Logo A esta contido
em Uniao (i=1, oo) P_i (na realidade, existe igualdade). Como cada R_i é
finito e a colecao {R_i} eh enumeravel, segue-se que a uniao dos R_i e,
portanto, A - sao enumeraveis.
Observe que nosso A inclui os complexos algebricos. Eh imediato que isto
implica que os reais algebricos sejam enumeraveis.
Sendo T o conjunto dos trancendentes, temos que R = A Uniao T. Sabemos que
R nao eh enumeravel e vimos que T eh enumeravel. Para que esta equacao de
conjuntos possa ser verdadeira, segue-se que T é nao enumeravel e, portanto,
nao vazio. Logo, existem numeros transcendentes. Alias. hah "mais"
transcendentes do que algebricos e mesmo do que iracionais, post T tem
cardinalidade maior do que a dos algebricos e que a dos racionais.
Artur
[Artur Costa Steiner]
-----Mensagem original-----
*De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de *André Rodrigues da Cruz
*Enviada em:* segunda-feira, 2 de abril de 2007 19:49
*Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Assunto:* [obm-l] Análise
Olá, será que alguém poderia me ajudar com esses tres problemas:
1) Dados a, b em R+ com a^2 < 2 < b^2, tome x, y em R+ tais que x < 1, x <
(2 - a^2)/(2a + 1) e y < (b^2 - 2)/2b. Prove que (a + x)^2 < 2 < (b - y)^2 e
(b - y) > 0.
Em seguida, considere o conjunto limitado X = {a pertencente a R+; a^2 <
2} e conclua que o número real c = sup X cumpre c^2 = 2.
2) Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é
enumerável. Um número real chama-se algébrico quando é raiz de um polinômio
com coeficientes inteiros. Prove que o conjunto dos números algébricos é
enumerável. Um número real chama-se transcendente quando não é algébrico.
Prove que existem números transcendentes.
3) Prove que um conjunto I contido em R é um intervalo se, e somente se, a
< x< b, a, b pertencentes a I implica x pertencente a I.
Aguardo sugestões!
Abraços!
André RC
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Fernando A Candeias
