De:[EMAIL PROTECTED] Para:"obm-l" [EMAIL PROTECTED]
Cópia: Data:Fri, 13 Apr 2007 09:28:41 -0300 Assunto:[obm-l] "blow up" em EDOs > Oi, pessoal: > > Estou tentando resolver o seguinte problema: > Prove que o problema de valor inicial: > dx/dt = t + x^2 > x(0) = a > 0 > tem uma solucao unica, a qual tende a +infinito em tempo finito. > > Se a equacao fosse dx/dt = x^2, entao a solucao seria x(t) = 1/(1/a - t), > a qual -> +infinito quando t -> 1/a pela esquerda. > > Como, para t > 0, t + x^2 > x^2, a solucao da equacao original (que existe e > eh unica pois t+x^2 eh uma funcao infinitamente > diferenciavel de t e x, quaisquer que sejam t e x reais) deve tender a > +infinito ainda mais rapidamente. > No entanto, estou com dificuldade pra provar esse fato que me parece > intuitivamente obvio. > Acabei de ter a seguinte idéia: Seja x tal que x'(t) = x(t)^2 e x(0) = a. Sejam u e v tais que: u(t) = y(t) - x(t) e v(t) = y(t) + x(t). Então: u(0) = 0; v(0) = 2a > 0; v'(t) = y'(t) + x'(t) = t + y(t)^2 + x(t)^2 > 0, para todo t > 0; u'(t) = y'(t) - x'(t) = t + y(t)^2 - x(t)^2 = t + v(t)*u(t) ==> u'(t) - v(t)*u(t) = t ==> (multiplicando pelo fator integrante e(t) = exp(-Integral(0...t) v(s)*ds) ) u'(t)*e(t) - v(t)*u(t)*e(t) = t*e(t) ==> d/dt(u(t)*e(t)) = t*e(t) ==> (integrando de 0 a t) u(t)*e(t) - u(0)*e(0) = Integral(0...t) s*e(s)*ds ==> u(t) = e(t)^(-1)*Integral(0...t) s*e(s)*ds > 0, para todo t > 0. Logo, y(t) > x(t), para todo t > 0. Como x(t) -> +infinito quando t -> 1/a-, devemos ter: y(t) -> +infinito, quando t -> b-, para algum b <= 1/a. []s, Claudio.
