Ola Felipe, observe que: d[ sen(ka) ]/da = kcos(ka) assim: Sn = Sum[k=0 -> n] d[ sen(ka) ]/da = d{ Sum[k=0 ->n] sen(ka) }/da
opa.. agora basta encontrarmos a soma dos senos e dps derivar em relacao a "a".. para determinar a soma dos senos utilize numeros complexos: z = cis(a) z^2 = cis(2a) : z^n = cis(na) z + z^2 + .. + z^n = cis(a) + cis(2a) + ... + cis(na) logo, a parte imaginaria desta soma é igual a soma dos senos.. mass.. da PG, temos que z + z^2 + .. + z^n = z(z^n-1)/(z-1) logo, basta tomarmos a parte imaginaria de z(z^n-1)/(z-1) z(z^n-1)/(z-1) = (z^(n+1) - z)/(z-1) * (z' -1)/(z' -1) .. onde z' é o conjugado de z dai temos: (z' - 1)(z^(n+1) - z)/||z-1||^2 = (z^n - 1 - z^(n+1) + z)/||z-1||^2 ... substituindo z, temos: (cis(na) - 1 - cis[(n+1)a] + cis(a))/(2 - 2cos(a)) a parte imaginária é: [ sen(na) - sen((n+1)a) + sen(a) ]/(2 - 2cos(a)) logo, a soma de senos é: [ sen(na) - sen((n+1)a) + sen(a) ]/(2 - 2cos(a)) basta derivarmos em relacao a "a" agora... derivando, temos: [ ncos(na) - (n+1)cos((n+1)a) + cos(a) ]/(2 - 2cos(a)) - [ sen(na) - sen((n+1)a) + sen(a) ] * 2sen(a) / (2 - 2cos(a))^2 pronto.. este é o resultado do somatorio de kcos(ka). abracos, Salhab On 4/27/07, Felipe Régis <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Olá pessoal, Bem, deparei-me com a seguinte questão: Encontre a fórmula de: Sn = SUM[k=0 a n][k*cos(k*a)]; lê-se, somatório de k=0 a n do termo k*cos(k*a). Comecei a desenvolver... p/ k=0, S(0)=0 p/ k=1, S(1)=cosa p/ k=2, S(2)= cosa+2cos2a ... p/ k=n-1,S(n-1)=S(n-2)+(n-1)cos[(n-1)a] p/ k=n, S(n)= S(n-1)+n*cos(n*a) Daí, temos S(n)= S(n-1)+n*cos(n*a), uma equação de recorrência não homogênea... Tentei e tentei mas não consegui torná-la homogênea, alguém poderia me ajudar? Não sei se assim sai, minha pretenção era achar a fórmula através dessa equação de recorrência e para isso seria necessário que fosse homogênea. E, alguém me ajudar a escrever de forma clara um somatorio aqui na lista? Ou mesmo na linguagem aqui de internet? (Não sei se o que eu coloquei acima ficou claro). Obrigado, Felipe Régis.
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================