1) Fcamos G(x) = F(x) - Lnx = Int [1a x] (e^t)*dt /t - Int [1a x] 1/t dt = Int [1a x] ((e^t) -1)/t dt /t Para 0 < x < 1, o integrando eh negativo, de modo que a integral de x a 1 torna-se menos negativa aa medida que x aumenta. Assim, a integra de 1 a x torna-se menos positixa, a funcao portanto decresce. Para x =1, G(x) = 0 Para x >1, o integrando eh positivo e G cresce. Logo, G tem um minimo global em x* =1, o que signfica que G(x) >= G(x*) = 0 para todo x, com igualdade sse x =1. Equivale a dizer que Ln x <= F(x) para todo x, com igualdade sse x =1 2) Provar que 1/(x+1/2) < Ln(1+1/x) < 1/x para todo x>0 Segundo conhecida desigualdade (oriunda to T. do Valor Medio), Lny <= y-1 para todo y >0. com igualdade sse y =1. Logo, Ln (1+ y) <=y Fazendo y =1/x, obtemos Ln(1/x)<= 1/x -1 e, portanto, Ln(1 + 1/x) < 1/x para todo x >0. As funcoes tendem a se igualar no infinito A desigualdade da direita equivale a dizer que 1/(1/y +2) = y/(1 + 2y) < Ln(1 + y) para todo y >0. Ambas as expressoes tendem a 0 quando y ->0. Desta forma, podemos comparar as derivadas (baseados na conhecida formuma f(x) = f(0) + x f'(0) + o(x)) . (y/(1 + 2y))' = 1/(1 + 2y)^2 (Ln(1 + y))' = 1/(1 +y) A condicao sera atendida para y > 0 sse 1 + y < (1 + 2y)^2 = 1 + 4y + 4y^2 , que eh claramente satisfaita. Isso prova a desigualdade da esquerda
[Artur Costa Steiner] ---Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Leonardo Borges Avelino Enviada em: domingo, 13 de maio de 2007 14:26 Para: obm-l Assunto: [obm-l] Integral maior q zero 1) F(x)= t , x>0 Para quais valores de x vale: Ln x <= F(x) 2) Provar que 1/(x+1/2) < Ln(1+1/x) < 1/x para todo x>0