Douglas, Você certamente fez a parte difícil da questão e merece 100% dos créditos por isso. Eu tinha feito uma solução por complexos para a questão da Eureka na aula de treinamento da imo, mas a sua é muito mais legal!!
Para provar o detalhe final da sua solução, minha estratégia padrão é: Seja a=exp(iA), b=exp(iB), c=exp(iC). Então, abc = -1 e como exp(ix)+exp(-ix) = 2cosx: (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = (1/4)*(a^2 + 1/a^2 + b^2 + 1/b^2 + c^2 + 1/c^2 + 6) = (1/4)*(a^2 + b^2 + c^2 + (bc)^2 + (ab)^2 + (ac)^2+6); 8cosA*cosB*cosC = (a+1/a)(b+1/b)(c+1/c) = -(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) = -(1+a^2+b^2+c^2+(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2+1). Substituindo uma na outra, 8cosA*cosB*cosC = -(2+4*( (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 - 6), ou seja, (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = 1 - 2cosAcosBcosC Abraços, Marcio Cohen On 7/30/07, Douglas Ribeiro Silva <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Olá Nehab! > > Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter > de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da > lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como > eu, vocês gostam muito de geometria. > > O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um > problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o > problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se > cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que > gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em "zerar" a área > do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação. > > Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão > que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois > não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma > fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar. > > A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + > (cosB)^2 + (cosC)^2)]. > Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo > é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente > 1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho > para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema > da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles. > > Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a > idéia abaixo: > > Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ. > Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) - > S(XBZ) - S(XYC) > > S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção > > As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo > se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores > que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) = > bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2. > > Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 - > ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2 > > Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e > substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por > S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula > de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original. > > Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e > ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar > [sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 - > 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. > > Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e > achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o > produto de cossenos. > > Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e > certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a > Eureka. > > Abraços, Douglas > > > > > Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > > Oi, querido Ponce > > > > Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as > áreas > > independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários > > caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema. > > > > Eu esperava algo do tipo: a razão entre as áreas é "o quadrado do > produto > > dos senos dos angulos", ou coisa similar. Embora tendo encontrado > várias > > coisas curiosas sobre o maldito e interessante triângulo, tentando > resolver > > o problema, não encontrei nada simples que merecesse ser publicado. > > > > E também confesso que imaginei que alguém mais inspirado conseguisse > alguma > > expressão simples para a resposta. Resta aguardar que quem propôs o > > problema informe se sabe alguma coisa (aliás hábito pouco praticado em > nossa > > lista é informar a origem dos problemas propostos - e às vezes, a origem > é > > bastante interessante). > > > > Eu realmente gosto desta informação pois tenho o hábito (e gosto) de > > mencionar a origem (e a solução) de qualquer problema que eu proponho, > no > > mínimo para respeitar a história... e o trabalho alheio. > > > > Abraços, > > Nehab > > > > At 01:09 29/7/2007, you wrote: > > > > Ola' Douglas e colegas da lista, > > nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas. > > > > Num triangulo equilatero a relacao vale 1/4 , e num triangulo retangulo > ela > > vale 1/3. > > E repare que podemos girar um dos lados do triangulo equilatero em > torno do > > seu ponto medio, de forma a transforma-lo, de forma continua, em > triangulo > > retangulo. O efeito disso e' percorrermos todos os valores de 1/4 a 1/3 > , > > por exemplo, mostrando que nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas. > > > > Obviamente poderiamos querer tentar encontrar alguma relacao envolvendo > > outra area "notavel" (como o triangulo de Euler, por exempo) , alem da > area > > dos 2 triangulos originais, mas nao e' o que o problema pede (e nem > faria > > muito sentido ficar testando uma infinidade de combinacoes). > > > > Portanto, a relacao entre as areas ABC e XYZ e' ... NENHUMA! > > > > []'s > > Rogerio Ponce > > > > > > Douglas Ribeiro Silva <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Seja um triangulo ABC com lados a, b, c. > > > > X eh a reflexao de A em relacao a reta que passa por BC > > Y eh a reflexao de B em relacao a reta que passa por AC > > Z eh a reflexao de C em relacao a reta que passa por AB > > > > Qual a relacao entre as areas de ABC e XYZ? > > > > > > Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= >
