Isto vale em todo espaco topologico sim. Basta ver que A e B estao contidos em
A U B, o que implica automaticamente que seus interiores estejam contidos no
interior de A U B. Logo int(A) U int(B) estah contido em int(A U B).
No livro de topologia do Munkres talvez haja algo sobre o problema das argolas,
vou dar uma olhada
.
Artur
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de ralonso
Enviada em: quarta-feira, 1 de agosto de 2007 09:11
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Topologia
Olá Kleber:
Antes de demostrar, vou mudar um pouco o enunciado para ele
ficar mais confortável (apenas substituir X por S e e Y por T, X vai
ser meu espaço topológico).
"Sejam S, T contidos em R, S ( diferente de 0 ) e T ( diferente de 0
).Mostrar que int ( S ) U int ( T ) está contido em int ( S U T ) "
Suponho que com int(S) vc queira dizer "interior de S" e com
R você queira dizer conjunto (espaço topológico) dos reais.
Neste caso, para resolver, é só lembrar a definição de ponto
interior de um conjunto e aplicar os axiomas da teoria dos conjuntos
para demonstrar. Pelo que me lembro, a definição mais geral de ponto
interior é:
"Um ponto p é um ponto interior de um conjunto S de um espaço
topológico X,
se existe um subconjunto aberto A de S que contém p"
Substitua agora X por R e A por intervalo aberto. Agora é preciso
lembrar antes
de resolver, que o conjunto S pode ser "qualquer coisa", inclusive um
conjunto fractal
como o conjunto de Cantor, com interior vazio. Estes casos (int (S) e
int (T) vazios)
podem ser considerados casos para uma demonstração por casos.
Por exemplo: int(S) = O e int (T) = O ==> int (S) U int(T) = O
que está contido em int (S U T),
pois O (o conjunto vazio) está contido em qualquer conjunto eu posso
concluir isso porque o
enunciado diz que S U T é diferente de vazio (S != 0 e T != 0)
Agora suponha int(S) != O ==> existe p em int (S) e existe A contido em
S, A aberto, tal que p está em A.
==> como A está em S então A
está também em S U T e como A é aberto então
==> A também está em int (S U
T), note que int (S U T) é uma reunião de conjuntos abertos
==> e que este conjunto não
pode ser vazio.
==> A contém p logo p está em
int(S U T )
==> int ( S ) U int ( T ) está
contido em int ( S U T ) .
Note que aparentemente o resultado é geral e vale para quaisquer espaços
topológicos. Ooops... será
que eu errei algo? Me corrijam por favor. Falando em topologia, alguém
conhece algum livro de topologia
algébrica que fale sobre quebra-cabeças de argolas? Daqueles problemas
de tirar uma argola de dentro de
outra?
Abraços.
Ronaldo.
Kleber Bastos wrote:
> Sejam X, Y contidos em R, X ( diferente de 0 ) e Y ( diferente de 0
> ). Mostrar que int ( X ) U int ( Y ) está contido em int ( X U Y ) .
>
> --
> Kleber B. Bastos
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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