Muito obrigado Artur -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: sexta-feira, 31 de agosto de 2007 11:28 Para: [EMAIL PROTECTED]; obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema de funções do Artur
On Thu, Aug 23, 2007 at 01:47:08PM -0300, Artur Costa Steiner wrote: > Seja f definida em (0, oo), nao negativa e monotonicamente decrescente. > Podemos provar, sem maiores dificuldades, que lim (n --> oo) [f(1) + > f(2)....+ f(n) - Int (1 a n) f(t) dt ] existe. Isto é decorrência direta do > carater monotonicamente decrescente de f. Mesmo que a serie e a integral > infinita divirjam, o limite sempre existe. A sequencia é limitada > inferiormente por 0 e eh monotica decrescente. Como f eh monotonica a > integral existe em qualquer intervalo compacto. > > Suponhamos agora que, para cada x >= 0 fixo, f_x seja definida em [1, oo) por > f_x(t) = 1/t^x. Entao, f_x eh estritamente decrescente para x > 0 e constante > em 1 pra x = 0. Definamos g(x) = lim (n --> oo) [1/1^x + 1/2^x .....1/n^x - > Int (1 a n) f_x(t) dt ]. Pelo que vimos, este limite existe para todo x e g > estah bem definida. Se x<>1, > > g(x) = lim (n --> oo) [1/1^x + 1/2^x .....1/n^x - (n^(1 - x) - 1)/(1 - x) ] > > e , se x=1 > > g(1) = lim (n --> oo) [1/1 + 1/2 .....1/nx - ln(n)] , que é a famosa > constante de Euler/Mascheroni, pouco maior que 0, 5 > > Se x >1, na definição de g a série e a integral convergem, e temos que > > g(x) = lim (n --> oo) [1/1^x + 1/2^x .....1/n^x - 1/(x -1)] = Z(x) - 1/(x > -1), sendo Z a funcao zeta de Riemann. Da análise complexa, sabe-se que Zé > analítica, apresentando assim derivadas de todas as ordens também na reta > real. Logo, g é difrenciavel em (1, oo) e g'(x) = Z'(x) + 1/(x-1)^2 > > Se x estiver em (0, 1], entao a integral e serie divergem. Ttentei provar que > > g é derivável tambem em [0,1], mas nap consegui. Escreva g(s) = SOMA_{n=1}^{infinito} h_n(s), h_n(s) = 1/n^s - (int_n^(n+1) dt/t^s) = n^(-s) - (int_n^(n+1) t^(-s) dt) = exp(-s log n) - (int_n^(n+1) exp(-s log t) dt). Assim g fica escrita como uma série de funções. Note que a função t^(-s) é decrescente em t logo 0 <= h_n(s) <= n^(-s) - (n+1)^(-s) e um argumento telescópico prova a convergência da série para s > 0. Para verificar que g é derivável devemos estimar as derivadas h_n'(s): h_n'(s) = H(s,n) - int_n^(n+1) H(s,t) dt, H(s,t) = - log t exp(-s log t). A derivada parcial de H em relação a t é H_t(s,t) = (s log t - 1) exp(-s log t) / t donde H_t(s,t) > 0 para t > exp(1/s). Ou seja, em qualquer intervalo compacto contido em (0,infinito) existe um N a partir do qual H(s,n) - H(s,n+1) <= h_n'(s) <= 0 e novamente por um argumento telescópico a série SOMA h_n'(s) converge uniforme e absolutamente para uma função contínua que será g'(s). Mas o melhor mesmo é provar que a sua função g é *inteira*. Considere a fórmula que você provou para s > 1: g(s) = Z(s) - 1/(s-1). Ora, é sabido que a função zeta tem uma única singularidade em C: um polo simples em s=1. Ao subtrair 1/(s-1), você obteve uma função inteira g_1(s) = Z(s) - 1/(s-1). O que você quer provar portanto é que o limite que você usou para definir g continua convergindo para o valor "correto" g_1(s) para s no intervalo (0,1]. Tudo isso pode ser feito estimando as funções h_n(s) acima em vizinhanças compactas apropriadas de reais x em (0,infinito). Note finalmente que o ponto s = 0 não pode ser tratado desta forma e tenho quase certeza que o seu limite original dá a resposta errada. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================