-----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de ralonso Enviada em: terça-feira, 7 de agosto de 2007 12:08 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Incompletude dos Sistemas Formais
1) "Deixa eu ver se entendi, uma teoria A tem os axiomas (a1, a2, a3...,an) e uma seria de teoremas (Ta1,Ta2...,Tan) ela é consistente pois seus axiomas nao tem contradição(ou seja todos esses teoremas são deduzidos desses axiomas)." Pelo que entendo, uma coisa é conistência dos axiomas e outra é da teoria. Entende-se que consistência a da teoria decorre da consistência dos axiomas (ausência de veracidade e falsidade simultâneas, por caminhos diferentes, de qualquer teorma deduzido a partir deles). Essa não possa ser demonstrada, segundo Göedel, usando o próprio conjunto (a1, a2, a3...,an). A pergunta é: Porque a consistência dos axiomas não pode ser demonstrada a partir deles mesmos? Porque o conjunto de axiomas, de qualquer teoria matemática consistente é SEMPRE incompleto e sendo incompleto não é capaz de decidir tudo (inclusive sua própria consistência). Sendo assim existirá sempre um teorema decorrente destes axiomas onde não será possível decidir sua veracidade ou falsidade, a partir do conjunto de axiomas (a1, a2, a3...,an) . Esse teorema é dito indecidível no conjunto de axiomas (a1, a2, a3...,an). Pode ser que ele seja decidível no conjunto (a1, a2, a3...,an) U (b1,b2,...bn). Até aqui dizemos que os axiomas são consistentes porque não levam a um teorema Ta_p (1<p<=n) e à negação do teorema Ta_p, sempre no conjunto de axiomas (a1, a2, a3...,an) . Agora como provar a consistência dos axiomas, pelo que eu sei, parece ser outra história: Uma forma é deduzir TODOS os teoremas decorrentes deles e não chegar a situações de prova e negação de um dado teorema por caminhos diferntes. Mas como vc sabe se um teorema qualquer, digamos teorema A, pode ser decidido a partir do conjunto de axiomas: (a1, a2, a3...,an) ? Resposta. Vc não sabe, porque não deduziu todos os teoremas possíveis dos axiomas (a1,...,an). Isso complica a matemática (*) e não sabe se a resposta deste teorema advém deste conjunto. E também vc não consegue deduzir todos os teoremas e os teoremas advindos de teoremas e assim sucessivamente até esgotar o assunto a partir do um conjunto de axiomas (a1, a2, a3...,an) . Isso é imprático, mesmo para computadores. É como colocar um monte de macacos em frente a máquinas de escrever e esperar que eles digitassem a enciclopédia britância toda (compilar todos os teoremas possíveis??? Existe algo capaz de fazer isso???). A solução para decidir o que é indecidível usando os axiomas (a1, a2, a3...,an) é acrescentar novos axiomas, provindos do mesmo assunto ou de um assunto diferente. Novamente, uma máquina não é capaz de saber quais axiomas acrescentar sem gerar inconsistência no conjunto (vc pode gerar inconsistência acrescentando um axioma a_(n+1) que não seja "razoável" e o computador não tem como saber o que é "bom senso") , mas uma coisa é fato, a paritr de uma massa crítica de axiomas (b1,b2...,bn) vc consegue provar que, de fato (a1, a2, a3...,an) era consistente, como sua experiência matemática supunha e suspeitava ... Vc já viu aqui um mesmo problema sendo resolvido por diferentes técnicas (ex: trigonometria, cálculo, etc) e sem resultados diferentes. Fantástico não? Quais axiomas foram usados em cada caso? Um computador saberia dizer? Sim. Com boa programação e com uma representação formal é possível fazer um programa que diga isso, mas na prática, em verdade, nem nós que resolvemos sabemos ........................ 2)"Mais para provar a consistencia de A tem que por uma especie de indução acrecentar mais axiomas criando uma teoria B que tem os axiomas (b1,b2,...bn) que dela os teoremas são (a1, a2, a3...,an) "ou seja os axiomas da teoria A são os teoremas de B". Não tenho certeza se a coisa é feita desta forma, mas parece que sim. Como não li o livro de Göedel todo ...eu posso ter dito besteiras... quem tiver paciência, então, por favor me corrija. Abraços. Ronaldo. (*) Leia o livro o último teorema de Fermat que foi provado através de uma conjectura que aparentemente nada tinha a ver com o problema ( a conjectura de Taniamma-Shimura que afirma que toda equação elíptica tem uma forma modular correspondente). ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================