Obrigado pelas soluções, elas esclareceram bastate essa parte do livro para
mim. Estou achando muito interessante essa construção rigorosa dos reais e
de suas propriedades. No ensino fundamental e no médio apenas jogam os
números e fórmulas prontos na nossa frente e passam cálculos e mais
cálculos.
Consegui uma solução diferente, mas acho que ela tem algumas passagens meio
delicadas. Confiram:
Considere inicialmente x>0. Então existe um inteiro a tal que a>x (teorema
1.29 no livro). Existe um a mínimo (se não existisse, teríamos x<a para todo
a, quando a=1, 0<x<1, e tínhamos suposto um x arbitrário). Seja b esse
mínimo. Então x>=b-1, pois x<b-1 contradiz a afirmação de que b é o menor
inteiro maior que x. Então existe um n=b-1 tal que n<=x<n+1. Suponha que
exista m tal que m<=x<m+1. Se m>n, n<m<=x<n+1<m+1. Isso dá x>n e exclui a
possibilidade x=n, e tínhamos suposto um x arbitrário. Analogamente m<n leva
a absurdo. Então m=n, e o número procurado é único. Se x<0, basta tomar
n=-p, onde p é inteiro e p<=-x<p+1. Se x=0, basta tomar n=0.
Em 25/09/07, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> Eu tenho um livro do Apostol. Ele segue a construcao usual em livros de
> analise.
> Vamos admitir jah demosntrado que o conjunto N, dos inteiros nao negativos
> eh bem ordenado, isto eh, todo subconjunto limitado inferiormente tem um
> menor elemento. Isto implica que todo subconjunto limitado superiormente
> tenha um maior elemento.
>
> Seja x >= 0 um real e sejam n =supremo {i em N | i <=x} e m = infimo {i em
> N | m > x}. Entao, n e m estao em N, m > x. e n <= x < m. Como m -1 < m,
> a definicao de m implica que m -1 <= x, o que, pela definicao de n, implica
> que m -1 <= n => m <= n +1. Temos, entao, que n <= x < n +1. Eh imediato que
> nenhum k de N maior que n +1, assim como nenhum k de N menor que n,
> satisfazem a k <= x < k+1. E como entre n e n+1 nao hah nenhum elemento
> de n, concluimos que n eh o unico elemento de N satisfazendo n <= x < n +1.
>
> Para extendermos a conclusao ao conjunto dos inteiros Z, basta tomar -x,
> se x <0, e aplicar o que jah vimos.
>
> Artur
>
> -----Mensagem original-----
> *De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> nome de *Carlos Nehab
> *Enviada em:* terça-feira, 25 de setembro de 2007 08:11
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* Re: [obm-l] (Apostol) Função Máximo Inteiro
>
> Oi, Otavio e Salhab,
>
> Meu Apostol, assim como muitos outros livros foram emprestados no passado
> e eu fiquei a ver navios... Mas acho importante algumas considerações
> sobre a demonstração do Salhab do exercícío do Apostol que você postou.
>
> Embora não lembre como é feita a construção dos reais no Apostol, é
> importante registrar que certamente, em algum momento, deve ser mencionada
> a questão dos reais como corpo ordenado e, em algum outro momento, deve ser
> mencionada a completude dos reais. Possivelmente "adicionando" outro axioma
> aos reais: o do "supremo", por exemplo: todo conjunto limitado
> superiormente possui um supremo...
>
> Por isto, a afirmativa do Marcelo
>
> vamos escrever x como a soma de um inteiro e um não-inteiro..
>
> deve ser vista como uma afirmativa que requer cuidados (pode até ser uma
> propriedade na construção do Apostol), pois usa indiretamente tal completude
> ou algo dela decorrente, como uma propriedade que alguns livros de calculo
> gostam de usar e que é chamada de propriedade de ordenação de Arquimedes:
> dado qualquer número real x existe um inteiro positivo n tal que n > x.
>
> Apenas para registro, sua demonstração também usou (de forma digamos
> mascarada) indução, que dependendo do estágio da construção dos reais não
> deve ser considerado algo tão óbvio...
>
> Ou seja, eu apenas quis assinalar que sua demonstração carrega algumas
> sutilezas ocultas que achei importante registrar. Com a palavra quem tem o
> Apostol... :-), para que possa me esclarecer em qual propriedade do Apostol
> se baseou a afirmação citada
>
> vamos escrever x como a soma de um inteiro e um não-inteiro..
>
> Abraços,
> Nehab
>
> Marcelo Salhab Brogliato escreveu:
>
> Olá Otávio,
>
> vc quer q prove que existe um, e somente um n inteiro, tal que: n <= x < n+1
> este n nós chamamos de piso de x..
>
> primeiro vamos provar que existe:
> vamos escrever x como a soma de um inteiro e um não-inteiro.. assim:
> x = a + w, onde a é inteiro e w é real e pertence ao intervalo [0, 1).
> deste modo, temos que a <= x
> w < 1 .... a+w < a+1 ... x < a+1...
> assim: a <= x < a+1
>
> suponha que existe um k inteiro, tal que: k <= x < k+1
> multiplicando por -1, temos: -(k+1) < -x <= -k
> somando, temos: n - (k+1) < 0 < (n+1) - k
> isto é:
> n - k < 1
> n - k > -1
>
> opa.. -1 < n - k < 1
> como a operacao de subtracao eh fechada nos inteiros, temos que n - k
> pertence aos inteiros.. e como o unico inteiro no intervalo (-1, 1) é
> 0, concluimos que: n - k = 0
> logo: n = k
>
> provamos que ele existe e é único...
>
> abraços,
> Salhab
>
>
>
> On 9/22/07, Otávio Menezes <[EMAIL PROTECTED]> <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>
> (Página 28, exercício 4) Prove que para todo real x, existe um e apenas um
> inteiro n tal que x é maior ou igual a n e menor que n+1.
>
>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
> emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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