Olá Nicolau.
"Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q]."
Bastante criativa sua solução de associar o vertor (p,q)
ao racional p/q. Existe alguma outra forma de fazer? Digamos
usando conceitos de equações de diferenças? Aparentemente
daria para fazer uma analogia da equação de diferenças
x_n * x_{n+1} = 4 x_n - 3
com x_n diferente de zero, com uma equação diferencial do tipo
y y' = 4 y - 3 .
"Nicolau C. Saldanha" wrote:
> On Mon, Oct 15, 2007 at 12:41:03AM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote:
> > Achei esse problema em um livro de Análise e estou tendo dificuldades em
> > resolvê-lo. É possível achar o termo geral em função de a_1 e n?
> >
> >
> >
> > Seja (x_n) uma seqüência definida indutivamente por x_1 > 3 e
> > x_{n+1} = 4 - 3/x_n, n natural.
>
> [Omitindo o resto do enunciado]
>
> Não é necessário achar o termo geral para resolver o problema
> mas como você pediu o termo geral aqui vai.
>
> Considere a matriz 2x2 A = [[4,-3],[1,0]].
> Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q].
> Assim devemos calcular A^n.
> Os autovalores de A são 1 e 3 com autovetores [3,1] e [1,1].
> Sejam X = [[3,1],[1,1]] e X^(-1) = (1/2) [[1,-1],[-1,3]].
> Temos X^(-1) A X = [[3,0],[0,1]] donde
> A^n = X [[3^n,0],[0,1]] X^(-1) =
> = (1/2) [[3^(n+1)-1,-3^(n+1)+3],[3^n-1,-3^n+3]].
> Assim
> x_n = ((3^(n+1)-1)x_0+(-3^(n+1)+3))/(2*((3^n-1)x_0+(-3^n+3))).
>
> []s, N.
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =========================================================================
