Por indução, é simples!! Sabemos que n^p == n mop p para algum n(n=1, por exemplo), queremos saber se é válido para todo n.
expandindo, (n+1)^p = n^p + C_p,1*a^p-1 + ... + C_p,k*a^p-k + ... + 1 obs*** C_x,y = combinação de x e y Como p divide C_p,k (pois o numerador é p! = p(p-1)(p-2)...), segue (n+1)^p == n^p + 1 mod p Mas por hipótese de indução, já estava provado que n^p == n mop p oq implica n^p +1 == n + 1 mop p Assim, (n+1)^p == n + 1 mod p, provando Fermat por indução sobre n Realmente, essa é a prova mais simples, mas não é minha -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rodrigo Cientista Enviada em: segunda-feira, 26 de novembro de 2007 13:41 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Salhab, realmente houve uma falha o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... seja x um resto qualquer da divisão de n por p, tal que n == x mod p seja um k qualquer tal que x-k = 1 (chamarei de r) e n-k = w, assim n == x mop p é equivalente a n - k == x - k mop p que pode ser reescrito como w == r mod p w == r mod p implica w^p == r^p mod p w^p -w == r^p - r == 0 mod p, assim w^p == w == 1 mod p (oq só demonstra o teorema quando w deixa resto 1 na divisão por p, tentei provar por indução para w+1, mas não saiu...) ----- Mensagem original ---- De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 24 de Novembro de 2007 20:16:58 Assunto: Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Olá Rodrigo, não entendi essa passagem: x^p - x == n^p - n == 0 mod p ... de onde veio o 0? abraços, Salhab On Nov 24, 2007 6:01 PM, Rodrigo Cientista < [EMAIL PROTECTED]> wrote: Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista, e gostaria de saber se uma demonstração que dei para o pequeno teorema de fermat está equivocada ou não, conforme segue: o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... escreverei n == x mod p, assim n == x mod p implica n^p == x^p mod p (das propriedades de congruência) n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das propriedades de congruência) se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p == x+ n^p mod p (das propriedades de congruência) assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos demonstrar Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
