Ola' Rodrigo, nao e' variacao da mesma suposicao. O que o Renji fez foi supor que o termo geral da Fibo pudesse ter a forma de uma combinacao linear de "b^n" . Baseado nesse "pseudo chute" (nao e' chute: mais adiante o Renji deduziu isso, usando uma tecnica de equacoes de diferencas), ele chegou aos valores necessarios para que o termo geral fosse verdadeiro.
Ja' com o termo geral na mao, fica facil calcular a relacao entre 2 termos consecutivos, e ver que ela converge para o tal limite. O assunto a ser dominado e' Equacoes de Diferencas Finitas. []'s Rogerio Ponce Em 28/11/07, Rodrigo Cientista<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Entendi, é uma variação da mesma suposição: suponha que para n > suficientemente grande, as razões a_n/a_(n-1), a_(n+1)/a_n, > a_(n+2)/a_(n+1)... guardem uma mesma proporção, chamada phi, o que significa > que para achar o termo seguinte multiplicamos o antecedente por phi, já que > a_n/a_(n-1)=phi ==> a_n=phi*a_(n-1), isto implica uma sequência phi, phi^2, > phi^3,...,phi^n, daí sua formulação, eu a entendi ! > > Minha dúvida, acho que é mais uma questão de lógica, é: você chegou ao valor > do limite SUPONDO q ele exista, quando você não sabe a priori se ele existe > ou não. > > em outras palavras: supor que ele exista, e em decorrência disso achar um > valor definido para ele, faz PROVA de sua existência? > > ou ainda de outra forma: supor a existência de algo em matemática, a partir > dessa suposição chegar a uma certa conclusão (algo=x) sem contradições, faz > prova da veracidade? se a suposição fosse falsa necessariamente eu acharia > uma contradição? > > é que eu construí uma prova sem usar nenhuma suposição de existência, apenas > a partir da definição f(n+2)=f(n+1)+f(n), o que é "dado"... mas acho q foi um > furo de lógica da minha parte não ter seguido o caminho menos braçal > (inexperiência com provas lógicas) > > abraços > > ----- Mensagem original ---- > De: Rodrigo Renji <[EMAIL PROTECTED]> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Enviadas: Quarta-feira, 28 de Novembro de 2007 21:15:57 > Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência: sequência de > fibonacci e análogas > > Rodrigo, você esta falando da forma geral dos termos da sequência de > fibonacci? > se for ela pode ser deduzida assim > a sequencia de fibonacci satizfas a recorrencia > f(n+2)=f(n+1)+f(n) > com condições iniciais f(0)=1=f(1) (ou f(1)=f(2)=1) > > um meio é chutar uma solução do tipo f(n)=b^n > ficando com > b^(n+2)=b^(n+1)+b^(n) > b^n .b² =b^n. b + b^n, queremos b^n diferente de zero > dai temos > b²=b+1 > b²-b-1=0 > então b=[1+ou -raiz(5)]/2 > > logo as soluções ficam > f(n)=c1.b1^n +c2.b2^n, onde b1 e b2 são as soluções da equação do > segundo grau acima c1 e c2 são constantes que devem ser determinadas > pelas condições iniciais da recorrencia, que no caso seriam > f(0)=1=f(1), tendo essas informações se chega na formula geral da > sequencia de fibonacci > > tenho outro meio de chegar na mesma resposta usando operadores Delta > vou definir assim > Df(n)=f(n+1)-f(n) e o operador expansão Ef(n)=f(n+1) > E²f(n)=f(n+2) > é possivel fazer o seguinte > f(n+2)=f(n+1)+f(n) > E²f(n)=Ef(n)+f(n) > (E²-E-1)f(n)=0 > que pode ser fatorado > (E-b1)(E-b2)f(n)=0 > as soluções são f(n)=c1.b1^n+c2.b2^n > pois os operadores (E-b1)(E-b2), ZERAM esse tipo de função > > abraços > > > > Em 28/11/07, Rodrigo Cientista<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Nicolau, realmente eu estava me referindo à sequência das razões a_n/a_(n-1) > > > > Algo que eu não consegui entender é: vc se baseia na suposição de que o > > limite existe, e caso ele exista é phi, isso que não entra na minha cabeça! > > > > Supondo que o limite existe, ele é igual a phi, mas eu não sei se ele > > existe, então não entendi como usar a suposição da sua existência na prova > > de sua própria existência. Eu não deveria, por exemplo, supor que ele não > > existe e identificar a contradição decorrente dessa suposição (uma forma de > > prova)? Eu nunca tinha visto a fórmula que você apresentou... chegou-se a > > essa fórmula sem supor a existência do limite? > > > > Me perdôe se a pergunta é tôla, sou apenas um amador... > > > > Aguardo comentários > > > > > > > > > Não entendi. > > > > > > A seq de Fibo tende para +infinito então ela diverge (trivialmente). > > > > > > Pela sua mensagem suspeito que você esteja querendo provar que existe > > > o limite lim a_(n+1)/a_n. > > > Se for isso, segue facilmente da fórmula > > > > > > a_n = A phi^n + B phib^n > > > > > > onde phi = (1+sqrt(5))/2, phib = (1-sqrt(5))/2. > > > > > > Como phi > 1 e -1 < phib < 0 temos lim a_n/(A phi^n) = lim ( 1 + > > > (B/A)*(phib/phi)^n ) = 1 desde que A seja diferente de 0. > > > Assim lim a_(n+1)/a_n = lim (A phi^(n+1))/(A phi^n) = phi. > > > > > > On Nov 27, 2007 9:58 PM, Rodrigo Cientista > > > <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > Alguém conheceria uma prova de convergência da sequência de fibonacci? > > > > ou sequências com a mesma regra de formação (a de lucas, por exemplo: > > > > 1,3,4,7,11,18...) > > > > > > > > Dei uma prova de convergência "feia" a partir da sequência de lucas > > > > (mas o mesmo argumento vale para a sequência de fibonacci e qualquer > > > > outra) > > > > > > > > Repare que achar a razão áurea (pelo menos pelo método tradicional***) > > > > não prova a convergência da sequência > > > > > > > > ***seja an = an-1 + an-2 a regra de formação; SE a sequência das razões > > > > an/an-1converge para um limite L, então quando n--> infinito, an/an-1 > > > > --> L > > > > > > > > na verdade, no limite an/an-1 = L, como an+1 = an + an-1, an/an-1 = > > > > (an + an-1)/an = 1+an-1/an ==> L = 1 + 1/L ==> L^2 - L - 1 = 0 ==> L = > > > > (1 +ou- 5^1/2)/2, > > > > > > > > desprezando-se o caso do sinal negativo (pois an é sempre maior que > > > > an-1 e no caso negativo L seria < 1) > > > > > > > > Mas tudo isso baseado na suposição, gostaria de ver uma prova da > > > > convergência mais bonita... (a minha é muito grande pra esse espaço) > > > > > > > > > > > > Abra sua conta no Yahoo! 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