Ney Falcao wrote:
Poderiam me ajudar com esta:
/Considere a equação x³-3x²-kx+12=0/
/a) Determine k de modo que haja duas raízes simétricas/
/b)Se 1 for raiz dessa equação, quais são as outras raízes?/
Ney
Eis a minha resolução:
a) Aplico, inicialmente, a relação de Girard em que organizo a soma dos
produtos das raízes tomadas duas a duas:
-k = x1*x2 + x1*x3 + x2*x3
Como duas das três raízes são simétricas, chamá-las-ei de "r" e "-r". (
x1 = r e x2 = -r)
A relação fica assim:
- k = r*(-r) + r*x3 + (-r)*x3
- k = - r^2
k = r^2
Como r é raiz da equação, a seguinte igualdade é verdadeira:
r^3 - 3*r^2 - k*r + 12 = 0
Como k = r^2
r^3 - 3*r^2 - r^3 + 12 = 0
3*r^2 = 12
r^2 = 4
Portanto, k = 4.
b) 1 é raiz, então:
1^3 - 3*1^2 - k*1 + 12 = 0
k = 10
Eis a equação:
p(x) = 0 = x^3 - 3*x^2 - 10*x + 12
Então, se 1 é raiz, isso implica que o polinômio p(x) é divisível por
d(x) = (x - 1).
Efetuando a divisão de p(x) por d(x) através do método prático de
Briot-Ruffini,
obtenho o polinômio quociente q(x) = x^2 - 2*x -12.
As outras duas raízes de p(x) serão as raízes dessa função polinomial do
segundo grau q(x), que podem ser facilmente obtidas através da fórmula
de Bhaskara e são estas: x2 = 1 + (raiz de +23) e x3 = 1 - (raiz de +23).
Espero não ter cometido algum erro. Um abraço deste que vos escreve, e
agradeço bastante pela questão.
