Re: Res: Res: [obm-l] Produto finito

albert richerd carnier guedes Thu, 03 Jan 2008 16:54:53 -0800

Valeu Rodrigo.

Quanto ao produto que propus, encontrei uma solução em termos dosnúmeros de Stirling, que foi um toque do nosso colega Rodrigo Renji.Em resumo, olhando os emails anteriores, chega-se a solução em forma desomatórias de números de Stirling. Essa somatória dupla têm seuselementos complexos anulados, como se espera, pois o produto é real. Oque sobra é uma somatória ao quadrado de elementos pares e de elementosímpares.Mas notei que a somatória dos elementos pares é igual em modulo asomatoria dos elementos impares, o que chega ao resultado final


prod^N_{n=0} ( 1 + n^2 ) = [ sum^M_n=0 s( N+1, 2n ) ]^2

onde M=[(N+1)/2], que é o maior inteiro da divisão de N+1 por 2, es(N+!,2n) é o numero de Stirling de primeira ordem.

É o mais simples que consegui chegar até agora na solução, so faltaachar uma relação explicita para colocar a somatoria em funcao dos de N.


Agradeço a todos que me ajudaram nesta questao.

Rodrigo Cientista escreveu:

Albert e demais que trabalharam neste problema: achei um link de pesquisas da AT&T 
"Integer sequences research" (pesquisa em sequência de inteiros), e me parece que 
pelo menos até o momento ninguém conhece uma fórmula fechada para este produto, pois acredito 
(achismo) que geralmente eles colocam a fórmula fechada, ou recursiva como queira, caso 
existente nas páginas de sequência de inteiros.

Em outras palavras: é muito improvável que exista uma fórmula fechada para o 
produto P=(1+1^2)*(1+2^2)*(1+3^2)*...*(1+n^2), cuja única fórmula recursiva com 
alguma simetria que encontrei foi para o caso n=4, a saber: P=2+ [1^2 + 2^2 + 
3^2 + 4^2]^2 + 2(4!)^2 -( 1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4)

Pra quem gosta de teoria dos números é uma ótima fonte de pesquisa sobre o assunto, 
pois a AT&T possui CPUs dentre as com maior capacidade de processamento do 
mundo e financiam pesquisas de matemática pura (isso mesmo!!!), no caso teoria dos 
números, para testar por exemplo milhares de conjecturas sobre números primos e 
similares.

link: http://www.research.att.com/~njas/sequences/A101686

Um exemplo é esta busca por sequências correlatas a primos gêmeos: 
http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=twin+primes&language=english&go=Search

Divirtam-se,
Rodrigo

----- Mensagem original ----
De: albert richerd carnier guedes <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2007 11:51:59
Assunto: Re: Res: [obm-l] Produto finito

Rodrigo Renji escreveu:

Cheguei em outro resultado "doido" pra esse produto, mas nem sei se esta certo

produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até 
n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) )

onde s(n,k) são numeros de stirling do primeiro tipo com sinal |s(n,k)| sendo o 
módulo desses números, i o número complexo.

A conclusão partiu de (1+k²)=(k+i)(k-i) depois separar o produtorio em dois,
depois usar a propriedade do produtorio que resultou poder ser escrito
como somas de potencias com coeficientes em números de stirling, nada
simples eu acho

abraços

Em 28/11/07, albert richerd carnier guedes<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:

Rodrigo Cientista escreveu:
Caro Nehab,

uma dúvida: os termos, individualmente, me parecem ser

negativos, certo? (à exceção do primeoro que é=0), sendo assim,
calcularíamos o fatorial de números negativos? exite isso? se sim, fatorial
de número par seria positivo, e de número ímpar seria negativo, os mais
geralmente, -N! = (-1)^N *
N!

***************************************************************************************************

Carlos

Nehab

Tue, 27 Nov 2007 01:45:00 -0800
Oi, Albert (e Ponce)
Faltou aplicar o

fatorial em cada parcela do produtório...

Nehab

----- Mensagem original

----

De: Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]>
Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

Enviadas: Terça-feira, 27 de Novembro de 2007

3:36:56

Assunto: Re: [obm-l] Produto finito

Ola' Albert,
voce deve ter se

enganado com alguma coisa no texto.

Do jeito que esta' , o produto e' sempre

zero.

[]'s
Rogerio Ponce



Em 27/11/07, albert richerd carnier

guedes<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:

Olá. É a primeira vez que estou escrevendo para esta lista.

Alguém sabe qual

é o valor do produto finito

P = ( 1 - 1^2 )( 1 - 2^2 )( 1 -3^2 )... ( 1 -

N^2 )em função de N.

Eu sei que ele possue o valor entre (N+1)! e

(N+1)!N!.

Agradeço qualquer

sugestão.

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Só para não criar um buraco no assunto, a solução do produto

P = ( 1 - 2^2 ).( 1 - 4^2 ).( 1 - 5^2 ) ... ( 1 - N^2 )

sempre começa em

2, pois se começar em 1 fica tudo 0.

Ele é bem mais fácil de achar.
Se

tivermos a_n = ( 1 - n^2 ), podemos colocar na forma

a_n = ( 1 - n )( 1 + n

e teremos o produto

P = ... [( 1 - n ).( 1 + n )] ...[( 1 - N ).( 1 + N

)]

e isso dá para separar em dois produtos mais fáceis

P_1 = ( 1 - 2 ) ...

( 1 - n ) ... ( 1 - N ) = (-1)^{N-1}.(N-1)!

P_2 = ( 1 + 2 ) ... ( 1 + n )

... ( 1 + N ) = ( N + 1 )!/2

E teremos

P = P_1 . P_2 = (-1)^{N-1}.(N-1)!(

N +1 )!/2

Pouca gente fala sobre produtos finitos, mas eu gosto muito

deles.

Não sei pra que servem, mas acho muito legais.

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Então sem querer eu ressucitei os números de Stirling. :)
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Re: Res: Res: [obm-l] Produto finito

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