Definamos Q(x) = P(x) - 5. Entao, Q eh um polinomio monico (pois P eh monico) e admite a, b, c e d como raizes, distintas 2 a 2. Segue-se que
Q(x) = (x -a) (x -b ) (x -c ) (x - d). Se P(k) = 8 para algum inteiro k, entao Q(k) = 3 e Q(k) = 3 = (k-a) (k -b) (k -c) (k -d). Como k eh inteiro e a, b, c e d sao inteiros distintos 2 a 2, isto signfica que 3 eh dado pelo produto de 4 numeros inteiros distintos 2 a 2. Mas isto é impossivel, pois 3 eh primo. Logo, nao existe nenhum inteiro k com P(k) = 8. Accho que estah certo. [Artur Costa Steiner] -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Marcelo Salhab Brogliato Enviada em: segunda-feira, 14 de janeiro de 2008 10:23 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Problema com polinômios Olá Igor, estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra mim, é um ótimo jeito de se encontrar uma demonstração.. hehe!) p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e p(k) = 8 onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a dois. deste modo: p(a) = 5 = a_n (mod a) p(b) = 5 = a_n (mod b) p(c) = 5 = a_n (mod c) p(d) = 5 = a_n (mod d) p(k) = 8 = a_n (mod k) pelo teorema chines do resto, conseguimos determinar a_n (mod a.b.c.d.k) fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a), g(b), g(c), g(d) e g(k) estão definidos.. então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1). seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos os coeficientes do polinômio! qual o erro nesta idéia? não encontrei... abraços, Salhab 2008/1/12 Igor Battazza < [EMAIL PROTECTED]<mailto:[EMAIL PROTECTED]>>: Olá pessoal, estou com dúvidas na seguinte questão: Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1, a_2, ..., a_n, e dado que também existem 4 inteiros distintos a, b, c e d tal que p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe inteiro k tal que p(k) = 8. Não consigo pensar em nenhuma restrição que implique nisso. Obrigado, Igor. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html> =========================================================================
