Um metodo que eu conheço pra fazer esses somatorios é o seguinte vou escrever o somatorio de f(k) com k variando de "a" até "b" como (com a e b inteiros, b>=a) soma [k=a,b] f(k)
seja D o operador que faz Df(k)=f(k+1)-f(k) [ normalmente escrevo o D como o simbolo delta mas com aqui nao tem opção escrevo D mesmo] temos que soma [k=a,b] Df(k)= f(b+1)-f(a) conhecida como soma telescópica com isso podemos fazer o seguinte , definino o somatorio indefinido soma f(k) =g(k) se e somente se Dg(k)=f(k), que é util pois se voce sabe uma função cujo D aplicado de f(k) voce resolve o somatorio , pois se Dg(k)=f(k) temos soma [k=a,b] f(k)= soma [k=a,b] Dg(k) =g(b+1)-g(a) por soma telescopica e se voce tem a soma indefinida soma f(k) =g(k) voce pode aplicar os limites do somatorio depois, ficando assim se soma f(k) =g(k) então soma[k=a,b] f(k) =g(b+1) -g(a) entao a principio vou trabalhar os somatorios sem limites superior e inferior achando a "primitiva finita " (xDDDD) deles , começando com somatorio de termos do tipo a^k, com a fixo e k variando, a soma de termos da p.g começo aplicando D em a^k, Da^k =a^(k+1)-a^(k) =a.a^k -a^k =a^k(a-1) logo Da^k=(a-1)a^(k) aplicando o somatorio de ambos lados temos soma Da^k= soma (a-1)a^(k) mas como soma Da^k=a^k, temos a^k= soma (a-1)a^(k), se a diferente de 1, podemos dividir ambos lados por (a-1) ficando soma a^k = (a^k)/(a-1), onde voce aplica os limites inteiros que quiser depois *(sempre que eu falar isso é com a condição que o limite superior seja inteiro maior ou igual ao limite inferior (caso contrario defina o somatorio como somatorio sobre conjunto vazio sendo zero)) agora pra calcular soma k.a^k, eu costumo usar a técnica de soma por partes (analogo a integração por partes) que segue do seguinte D[g(k).f(k)] =g(k+1).f(k+1)-g(k).f(k) somando e subtraindo f(k+1).g(k) temos D[g(k).f(k)] =g(k+1).f(k+1)-f(k+1).g(k) +f(k+1).g(k)-g(k).f(k) colocando f(k+1) em evidencia no primeiros 2 termos e g(k) em evidencia nos dois "segundos" temos D[g(k).f(k)] = f(k+1)[g(k+1)-g(k)] + g(k) [f(k+1)-f(k) ] vendo que aparece g(k+1)-g(k) =Dg(k) e f(k+1)-f(k) =Df(k) escrevemos D[g(k).f(k)] = f(k+1)[Dg(k)] + g(k) [Df(k) ] que é a formula analoga a derivação de produto (caso finito) aplicando o somatorio de ambos lados temos soma D[g(k).f(k)] = soma f(k+1)[Dg(k)] + g(k) [Df(k) ] e pela linearidade do somatorio e pelo telescopico g(k).f(k)= soma f(k+1)[Dg(k)] +soma g(k) [Df(k)] assim soma g(k) [Df(k)] = g(k)f(k) - soma f(k+1)[Dg(k)] e vou usar isso pra calcular soma k.a^k soma k.a^k, vou tomar g(k)= k entao Dg(k)=g(k+1)-g(k)=x+1-x=1 e tomar Df(k)=a^k então f(k)= a^(k)/ (a-1) com isso temos pela formula soma k.a^k = k.a^(k)/(a-1) - soma a^(k+1)/(a-1) = =k.a^(k)/(a-1) - a/(a-1)soma a^(k), e como sabemos que soma a^(k)=a^(k)/(a-1) [ que foi feito antes), temos que soma k.a^k =k.a^(k)/(a-1) - a.a^(k)/(a-1)^2 onde voce aplica os limites depois, sendo g(k)=k.a^(k)/(a-1) - a.a^(k)/(a-1)^2 voce tem o somatorio com os limites soma[k=c,b] k.a^k =g(b+1)-g(c) usando isso pra resolver o problema temos soma [k=1,n] [k.10^k -k] = soma [k=1,n] k.10^k -soma [k=1,n] k = =soma [k=1,n] k.10^k -(n)(n+1)/2 no primeiro somatorio usando a formula acima ficamos com soma [k=1,n] [k.10^k -k] =10^(n+1)[9n-1]/81 +10/81 -n(n+1)/2 e finalmente multiplicando por 1/9 que era a constante que ficava pra fora do somatorio temos 1/9 [10^(n+1)[9n-1]/81 +10/81 -n(n+1)/2] os metodos que usei acima podem ser usado pra resolver outros somatorios, como por exemplo c(k,p)a^k onde c(k,p) é o coeficiente binomial e k varia no somatorio, somatorio de seno e cosseno, esses metodos + numeros de stirling do segundo tipo pra resolver somatorio de potencias (base variando) (k^p, k variando, p natural), hum... Em 09/04/08, Pedro Júnior<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Eita mundão da matemática... > > Rapaz 1ª vez que vi esta fórmula, nossa, mas faz sentido claro... > > vou verificar valeu mesmo, só uma perguntinha, onde vc encontrou essa > questão mesmo? > > pois encontrei numa lista de exercício por aí, e coloquei na minha porém não > havia resolvido antes. > > resultado nome da questão: UM PROFESSOR EM APUROS!!! > > KKKKKKKKKKK > > Bom, agradeço bastante a colaboração e vou apicar indução afim de verificar > se vale para todo n. > > abraços > > E a caminhada continua! > > 2001/11/1 Pedro <[EMAIL PROTECTED]>: > > > > > > > Essa questão deu muito trabalho à tres semana, mais no fim deu certo. > > > > Seja S_n = 1.11^0 + 2.11^1 +3.11^2 +...........+n.11111111111 rescrever > de uma maneira para facilitar a solução: > > > > S_n = 1.(10^1 - 1)/9 +2.(10^2 - 1)/9 +............+n.(10^n - 1)/9 > > > > S_n = 1/9.[ (1.10^1 +2.10^2+.......+n.10^n) - (1+2+3+.......+n)] > > > > Esta parte que eatá em negrito é : Série aritmético - geométrica. Você > aplica a sguinte fórmula: > > > > S_n=[ a_1(1 - q^n)/1- q] + rq[1 - nq^(n - 1) +(n - 1).q^n]/(1 > - q)^2 > > > > obs:a_0=0 , a_1=1 e q=10 > > > > Portanto, > > > > S_n= 1/9 {10/81( 1+9n.10^n - 10^n) - [n(n+1)]/2} > > > > Testei com n=1,2,3 e deu certo > > > > > > > > > > > > ----- Original Message ----- > > From: saulo nilson > > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Sent: Tuesday, April 08, 2008 11:26 PM > > Subject: Re: [obm-l] Soma !!! > > > > > > (1+n)n/2+(2+n)(n-1)/2+(3+n)(n-3)/2,,, > > soma(k+n)(n-(k-1))/2=1/2soma(n^2-k^2)+n+k= > > =1/2(n^3+n^2+(1+n)n/2-n(n+1)(2n+1)/6= > > =3n(n+1)(6n+3-(2n+1))=12n(n+1)^2 > > > > > > 2008/4/8 Pedro Júnior <[EMAIL PROTECTED]>: > > > > > Engalhei na seguinte soma: > > > > > > Já usei aquele exercício do livro do Lidisk, mas aquela soma é de 1 + 11 > + 111 + ... + (111...1), onde (111...1) tem exatamente n dígitos, mas mesmo > assim ainda não saiu! > > > > > > > > > S_n = 1 + 22 + 333 + 4444 + ... + n ( 111...1) > > > > > > > > > onde (111...1) tem exatamente n dígitos. > > > > > > Desde Já agradeço!!! > > > > > > > > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================