Olá, Ralph!
Vivendo e aprendendo. Se eu fosse engenheiro, eu diria: bom, mas as minhas 190
caixas vão, certamente, garantir a probabilidade desejada. (rsrs) Mas o
enunciado é claro no sentido de pedir o número mínimo de caixas. Entendi a
questão dos eventos não equiprováveis. Afinal, comprando 2 caixas, por exemplo,
a probabilidade de se ter dois brindes diferentes é bem maior do que a de se
ter dois iguais. Então, precisou utilizar o Princípio da Inclusão e Exclusão.
Enfim, valeu por dizer que a "solução" apresentada foi muito bela!
Um abraço,
Eduardo
----- Mensagem original ----
De: Ralph Teixeira <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 19 de Maio de 2008 15:24:11
Assunto: Re: [obm-l] DESAFIO
Desculpa, Eduardo, mas eu vou ser muito muito chato e inserir minha fala
probabilística favorita (quem me conhece não me aguenta mais com isso):
"Mas os eventos contados são igualmente prováveis?"
(Neste caso, não são!!, então sua solução, apesar de muito bela, infelizmente
não funciona.)
---///---
Vamos tentar outra solução... Comprei n caixas. Vou supor que
i) As probabilidades dos brinquedos estão igualmente distribuídos (isto é, não
há, a priori, "figurinha difícil"); isto significa que a probabilidade de uma
determinada caixa conter o brinquedo 1 é 1/5=0.2, assim como o brinquedo 2, 3,
4 ou 5.
ii) Caixas distintas são "independentes" entre si; esta é uma suposição
razoável se, por exemplo, as caixas são bem distribuídas geograficamente, ou se
você compra de vários lugares aleatoriamente, e se o número de caixas que você
compra é bem menor que o produzido... Tem outros jeitos de esta suposição ser
razoável também, então fico com ela.
Então vamos lá: sejam N1, N2, N3, N4 e N5 as probabilidades de você NÃO ter os
brinquedos 1, 2, 3, 4, 5 respectivamente, depois de comprar as n caixas. Temos
(para i, j, k, l em {1,2,3,4,5} distintos dois a dois):
Pr(Ni)=(0.8)^n ((i) garante o "0.8"; (ii) garante o "^n"; há 5 termos deste
tipo)
Pr(Ni e Nj)=(0.6)^n (há C(5,2)=10 termos destes)
Pr(Ni e Nj e Nk)=(0.4)^n (C(5,3)=10 termos assim)
Pr(Ni e Nj e Nk e Nl)=(0.2)^n (C(5,4)=5 termos assim)
Pr(N1 e N2 e N3 e N4 e N5)=0^n=0 (se n>=1)
O evento que me interessa é N1 ou N2 ou N3 ou N4 ou N5 (este é o evento "não
completei a coleção", algum dos brinquedos me faltou). Usando aquelas leis de
De Morgan (argh!):
Pr(Não completar coleção) = Pr(N1 ou N2 ou N3 ou N4 ou N5) =
= Soma(Pr(Ni))-Soma(Pr(Ni e Nj))+Soma(Pr(Ni e Nj e Nk))-Soma(Pr(Ni e Nj e Nk e
Nl)) + Pr(N1 e N2 e ... e N5) =
= 5(0.8)^n - 10(0.6)^n + 10(0.4)^n - 5(0.2)^n
(Deixa eu fazer um "reality check": fazendo as contas com esta expressão aí dá
P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=1 e P(5)=601/625... Isto reflete que é impossível completar
a coleção com 1,2,3 ou 4 caixas, e a chance de fechar a coleção com 5 caixas é
5!/5^6=24/625. Ok!)
Eu quero que isso seja menor que 10%, então a equação a resolver é:
P(n)=5(0.8)^n-10(0.6)^n+10(0.4)^n-5(0.2)^n < 0.1
Argh, não tenho idéia de que método algébrico usar nesta caca.... Vou dar um
bicão só com o primeiro termo para obter uma primeira aproximação (na esperança
de que os outros sejam bem menores, afinal, olhe as bases deles!):
5(0.8)^n < 0.1
(0.8)^n < 0.02
n > ln(0.02)/ln(0.8) = 17.53 (usei uma calculadora; talvez desse para estimar
isso de outro jeito, mas eu vou na calculadora daqui para a frente)
Da "natureza do problema", é claro que P(n) é não-crescente nos inteiros
positivos. Vamos experimentar alguns valores por perto do 17.53:
P(17)=5(0.8)^17-10(0.6)^17+19(0.4)^17-5(0.2)^17 ~= 11.090%
P(18)=5(0.8)^18-10(0.6)^18+19(0.4)^18-5(0.2)^18 ~= 8.9057%
Então é isso aí, a resposta é n=18 caixas!
Abraço,
Ralph
2008/5/19 Eduardo Estrada <[EMAIL PROTECTED]>:
Olá, Fernando,
Podemos considerar que a pessoa tenha comprado n caixas do produto, sendo que,
destas, b1 caixas contendo o brinde 1, b2 caixas contendo o brinde 2, e assim
por diante, de tal modo que:
b1 + b2 + b3 + b4 + b5 = n
O total de compras em que todos os brindes são contemplados corresponde ao
número de soluções inteiras positivas da equação acima, e o total irrestrito de
compras corresponde ao número de soluções inteiras não negativas. Esses valores
são, respectivamente, os binomiais C(n-1,5-1) = C(n-1,4) e C(n+5-1,5-1) =
C(n+4,4). Para que se cumpra o enunciado, façamos:
C(n-1,4)/C(n+4,4) = 0,9,
ou, expandindo,
(1/240)n^4 - (19/24)n^3 + (7/48)n^2 - (95/24)n + 1/10 = 0
A equação acima admite uma raiz real próxima de zero, que não convém, pois
devemos certamente comprar ao menos 5 caixas, e outra em torno de 189,84. Logo,
basta comprar 190 caixas para se garantir a probabilidade de 90 % de se
adquirir os cinco brindes.
Um abraço,
Eduardo Luis Estrada
----- Mensagem original ----
De: Fernando Lima Gama Junior <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 18 de Maio de 2008 23:41:10
Assunto: [obm-l] DESAFIO
Suponha que uma indústria alimentícia coloque em seus produtos um brinde para
incentivar as vendas para crianças. São 5 tipos de brindes possível e a idéia é
fazer com que a pessoa colecione os brindes, mas será impossível descobrir qual
brinde tem em uma determinada caixa antes de abrir o produto. Nesse caso, um
colecionador dos brindes sortudo será aquele que ao comprar 5 caixas do
produto, cada uma com um brinde diferente. Acontece que como ele não sabe qual
brinde tem dentro de cada caixa ele pode ter que comprar mais de 5 caixas para
completar a coleção, já que podem vir brindes repetidos. Qual seria o número
mínimo de caixas que a pessoa teria que comprar para assegurar, com 90% de
chances, de que ela terá os 5 brindes?
Fernando
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