hm... Rodrigo, no item 2, acho que na verdade vc quis dizer: 8 divide c+1, entao c assume valores tais que c+1 seja multiplo de 8 e no intervalo [-2006, 2008] (pois eh c+1...). Conta-se o zero sim, pois ele nao foi contado anteriormente.... c+1=0 eh o caso c = -1, afinal... e como temos o 2008 (c = 2007) a mais tb, sua resposta seria 1505.
Segundo, e mais importante.... desculpe mas nao estou convencido que sua resolucao funcione.... digamos, apenas para ilustrar, que eu nao tenha percebido que quadrados impares sao da forma 8a+1, e que eu apenas utilizasse que sao da forma 4a+1. Nao deixa de estar correto, certo? Eu chegaria a conclusao que na verdade temos umas 2000 solucoes.... se a sua resposta eh correta, entao essa tem que estar errada, mas onde estaria o erro? Na realidade acredito que vc encontrou apenas um limitante superior para a solucao.... usando que quadrados impares sao 4a+1 daria um limitante maior, o que eh natural.... adicionando informacao (passando de 4a pra 8a) teriamos um intervalo mais preciso, mas nao incompativel. Dizer que 4 (ou 8) divide c (ou c+1) eh correto, mas a partir disso nao podemos afirmar que c (ou c+1) pode valer TODOS os multiplos possiveis.... o que voces acham? On Fri, May 30, 2008 at 2:14 AM, douglas paula <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Vlw rodrigo muito maneira a sua solução. Já mandou ela pra eureka ? > abraços > > *Rodrigo Cientista <[EMAIL PROTECTED]>* escreveu: > > Douglas, desculpe-me, li mal o problema, a minha solução segue abaixo: > como c + x^2 Ã(c) múltiplo de 2^2007, então c + x^2 = w2^2007 > partimos de duas constatações: > a) um quadrado perfeito par Ã(c) divisÃvel por 4 > **prova: tome x^2 par ==> x Ã(c) par ==> x = 2k ==: x^2 = 4k^2 > b) um quadrado perfeito Ãmpar Ã(c) da forma 8a + 1 > **prova: tome x^2 Ãmpar ==> x Ã(c) Ãmpar ==> x Ã(c) da forma 2n+1 ==> x^2 = > (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n+1) + 1, como n e n+1 são consecutivos, um > deles Ã(c) par, logo n(n+1) por ser escrito como 2a ==> 4n(n+1) + 1 = 8a + 1 = > x^2 > 1 ) no caso em que x^2 Ã(c) par, temos que x^2 = 4k^2 ==> c = w2^2007 - 4k^2, > como 4 divide 2^2007 ==> 4 divide w2^2007 - 4k^2 ==> 4 divide c, logo c > assume os valores múltiplos de 4 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua > soma com um x^2 suficientemente grande seja divisÃvel por 2^2007), > incluindo o zero, que são no total de 501 + 501 + 1 = 1003 (4 divide 2007 - > 3 em 501 partes, mesmo raciocÃnio para 3 - 2007) > 2 ) no caso em que x^2 Ã(c) Ãmpar, temos que x^2 = 8a + 1 ==> c + 8a + 1 = > w2^2007 ==> c + 1 = w2^2007 - 8a, como 8 divide w2^2007 - 8a ==> 8 divide c > + 1, logo c assume os valores que somados a 1 são múltiplos de 8 no > intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande > seja divisÃvel por 2^2007, mesmo raciocÃnio), excluindo o zero pois já > foi contado, que são no total de 250 + 250 = 500 (8 divide 2007 - 7 em 250 > partes, mesmo raciocÃnio para 7 - 2007) > RESP: para 1503 inteiros c > > ----- Original Message ----- > From: douglas paula > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Sent: Tuesday, May 27, 2008 9:44 PM > Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 -- > 2ª questão > > rodrigo, >  ao meu ver, c + x^2 = k 2^2007 , onde k Ã(c) qq natural e k 2^2007 não Ã(c) > necessariamente igual à 2^n > venho a um bom tempo quebrando a cabeça nessa questão mas sem conseguir > muito resultado ... > [EMAIL PROTECTED] escreveu: >  > vou tentar, > 2^n - x^2 = c tal qque 1< n < 2007, como todo número pode ser expresso > como diferença de dois quadrados, só existem "c" tal que n possa ser > um quadrado, de sorte que c seja expresso como diferença de dois > quadrados > > ----- Original Message ----- > From: douglas paula > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Sent: Saturday, May 17, 2008 11:02 PM > Subject: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 -- 2ª questão > > XXIX OLIMPÃADA BRASILEIRA DE MATEMÃTICA > TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 (Ensino MÃÂ(c)dio) > PRIMEIRO DIA > PROBLEMA 2 > Para quantos números inteiros c, - 2007 <= c <= 2007 , existe um inteiro x > tal que x^2 + c Ã(c) múltiplo de 2^2007? > alguÃ(c)m se habilita? > grato, >                 Douglas > > -------------------------------------------------------------------------------- > Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para > armazenamento! > > > -------------------------------------------------------------------------------- > Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para > armazenamento! > > > Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para > armazenamento! > http://br.mail.yahoo.com/ > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html> > ========================================================================= > > > ------------------------------ > Abra sua conta no Yahoo! > Mail<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/>, > o único sem limite de espaço para armazenamento! > -- Rafael
