Martins, Problema 3 Verificar que o ângulo  = BAC=ABD=ACD, para que BDC= 3 BAC. Vamos chamar AB=AC = m e BM=MC=x. Do triângulo retânguo ABM temos : x2 + 121 = m2 x2 = m2 - 121 Â/2 = BAM Sen(Â/2) = x/m ; Cos(Â/2) = 11/m, então Sen(Â) = 2(x/m)(11/m) = 22x/ m2 Cos(A)2 = 1 - 484x2/m4 = (m4 - 484x2)/m4 = (m4 - 484 m2 + 484*121)/m4 Cos(A)2 = ( m4 - 2*11*22 m2 + (11*22)*(11*22) )/m4 Cos (A) = (m2 - 242)/m2 Agora, vamos aplicar a lei dos Cos noa triângulo ABC : 4x2 = m2 + m2 - 2 m2Cos(A) 4(m2-121)= 2m2 - 2m2 (m2 - 242)/m2 4m2 - 484 = 2m2 -2m2 + 484 4m2 = 968; m2 = 242; m = 11 Sqrt(2), logo x=11. Assim, 2P = 2x +2m = 22 ( Sqrt(2) +1 ) Então, BAC= 90. Se não errei em conta (ou o problema), não existe D tal que AD=10, DM=1 e o ângulo BDC=3BAC. Agora, o último problema parace ser uma verdadeira "trolha".....Vou tentar hj a noite, mas pelo que vi, este vai demorar....:) Abs Felipe --- Em seg, 11/8/08, luiz silva <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
De: luiz silva <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: [obm-l] Enc: Re: [obm-l] Ajuda em Quatro Questões de Geometria (Errata problema 2) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 11 de Agosto de 2008, 11:03 Martins, Verificar, no desenho anterior, que o triângulo CNP é isósceles, com CNP = 100 + 60, assim NCP=NPC= 10, Como NPM =40, CPN = 30. Abs Felipe --- Em seg, 11/8/08, luiz silva <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: De: luiz silva <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: Enc: Re: [obm-l] Ajuda em Quatro Questões de Geometria Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 11 de Agosto de 2008, 10:54 Martins, Favor desconsiderar o item 2. A solução está errada. Abs Felipe --- Em seg, 11/8/08, luiz silva <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: De: luiz silva <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: Re: [obm-l] Ajuda em Quatro Questões de Geometria Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 11 de Agosto de 2008, 9:37 Olá Martins, Estas são as soluções que vi para as 2 primeiras questões. As outras duas, tentarei resolver até amanhã. 1a) Questão Pode-se utlilzar geometria analítica . Vc deverá determinar as coordenadas dos pontos (coloque um dos vértices do triangulo equilátero no ponto (0,0) ). A seguir, determine as equações das retas que contém as cevianas e o ponto de intercessão das duas cevianas. Após, vc poderá determinar o ângulo pedido, através dos coeficientes angulares das retas que contem BP e DP(não fiz as contas, mas parce ser 90). 2a) Questão Marque M em AB, tal que MCB = 20 ; N em AC tal que CMN = 60 e Q em AB, tal que MNQ = 100 . Vc irá verificar que Q=P, e BPC=40 Abs Felipe --- Em dom, 10/8/08, Martins Rama <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: De: Martins Rama <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: [obm-l] Ajuda em Quatro Questões de Geometria Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 10 de Agosto de 2008, 15:50 Olá pessoal. Alguém poderia me ajudar a resolver as questões de geometria plana abaixo? Obrigado. Martins Rama. QUESTAO 1 Em um triângulo eqüilátero ABC, sejam D e E pontos sobre os lados AB e BC, respectivamente, de modo que AB=3AD e BC=3BE. Se P é o ponto de interseção de AE com CD, então a medida do ângulo BPC é: a) 60° b) 90° c) 120° d) 135° e) 150° QUESTAO 2 Em um triângulo isósceles ABC, com AB=AC, os ângulos da base medem 80º. Se P é um ponto sobre o lado AB, tal que AP=BC, então a medida do ângulo BPC é: a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60° QUESTAO 3 Seja ABC um triângulo isósceles, com AB=AC E e altura AM=11. Supondo que haja um ponto D sobre AM, tal que AD=10 e o ângulo BDC seja igual ao triplo do ângulo BAC, então o perímetro do triângulo ABC vale: a) 11(sqr(3)+1) b) 11(sqr(5)+1) c) 11(sqr(7)+1) d) 11(sqr(11)+1) e) nenhuma das respostas anteriores QUESTAO 4 Num triângulo ABC, tem-se que os ângulos B=100° e C=65°. Sobre o lado AB toma-se um ponto M de modo que o ângulo MCB=55° e, sobre o lado AC toma-se o ponto N de modo que o ângulo NBC=80°. A medida do ângulo NMC é igual a: a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 30° ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses