Solução da Eq. Diofantina “x^3 + 3y = z^3”
Tem-se: z^3 – x^3 = 3y
Logo “z^3 – x^3” é múltiplo de “3”
A condição necessária e suficiente para que “z^3 – x^3” seja múltiplo de “3” é
que a divisão de “z” e de “x” por “3” apresente o mesmo resto, i.e., “0”, “1”
ou “2”.
Demonstra-se:
1) x=3m ; z=3n --> z^3 – x^3 = 3(9n^3 – 9m^3) ... múltiplo de “3”
2) x=3m+1 ; z=3n+1 --> z^3 – x^3 = 3(9n^3 + 9n^2 + 3n – 9m^3 – 9m^2 – 3m)
... múltiplo de “3”
3) x=3m+2 ; z=3n+2 --> z^3 – x^3 = 3(9n^3 + 18n^2 + 12n – 9m^3 – 18m^2 –
12m) ... múltiplo de “3”
4) x=3m ; z=3n+1 --> z^3 – x^3 = 3(9n^3 + 9n^2 + 3n – 9m^3) + 1 ...
não-múltiplo de “3”
5) x=3m ; z=3n+2 --> z^3 – x^3 = 3(9n^3 + 18n^2 + 12n + 2 – 9m^3) + 2 ...
não-múltiplo de “3”
6) x=3m+1 ; z=3n+2 --> z^3 – x^3 = 3(9n^3 + 18n^2 + 12n + 2 – 9m^3 – 9m^2
– 3m) + 1 ... não-múltiplo de “3”
7) As condições (x, z) = { (3m+1, 3n) ; (3m+2, 3n) ; (3m+2, 3n+1) } são
simétricas, respectivamente, às condições “4”, “5” e “6”
Todas as possíveis condições de contorno foram analisadas!
Assim, para que a divisão de “z” e de “x” por “3” apresente o mesmo resto
basta, então, que “z” e “x” obedeçam à seguinte formulação:
( x, z ) = ( 3a + k, 3b + k )
Sendo “a”, “b” e “k” números inteiros quaisquer (e nem é necessário restringir
o valor de “k” a apenas “0”, “1” e “2”).
Esta é a condição necessária e suficiente para que “z^3 – x^3” seja múltiplo de
“3”.
Daí:
y = (z^3 – x^3)/3 = 9(b^3) + 9(b^2)k + 3b(k^2) – 9(a^3) – 9(a^2)k – 3a(k^2) =
= 9[b^3 + (b^2)k – a^3 – (a^2)k] + 3[b(k^2) – a(k^2)]
E finalmente:
( x, z, y ) = ( 3a + k, 3b + k, 9[b^3 + (b^2)k – a^3 – (a^2)k] + 3[b(k^2) –
a(k^2)] )
Ou, se preferir:
( x, z, y ) = ( 3a + k, 3b + k, (z^3 – x^3)/3 )
E esta é a solução mais geral possível da equação diofantina [EMAIL PROTECTED]
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