Saudações a todos!
Vi que essa questão tem sido muito comentada nos últimos dias, mas ninguém
propôs uma solução de fato.
Então proporei uma solução!
Partindo das seguintes "premissas":
1) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab (às vezes fica mais fácil uma
visualização quando escrito dessa forma... Não sei se vocês conhecem o
professor Ponce, ele sempre prefere esse tipo de configuração. Pode parecer
elementar, mas ajuda muito na visualização de algo importante para resolver
o exercício.)
Então, se pegarmos o 3 + 2*sqrt{2}, ele pode ser escrito como 2 + 1 +
2*sqrt{2}...
Acho que vocês já conseguiram ver, portanto, que essa expressão nada mais é
do que (sqrt{2} + 1)^2
O mesmo vale para o (3 - 2*sqrt{2}) = (2 + 1 - 2*sqrt{2}) =
2) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a(a^2 + 3b^2) + b(b^2 + 3a^2)...
Assim, (5*sqrt{2} + 7) acho que pode ser escrito melhor como (novamente pra
facilitar a visualização):
(sqrt{2}*5 + 7)... pode parecer elementar, mas acho que já fica fácil de
visualizar que:
(sqrt{2}*[ (sqrt{2})^2 + 3*(1)^2 ] + 1*[ (1)^2 + 3*{(sqrt{2})^2} ])
Aí, acho que nem preciso me alongar e já posso concluir que (5*sqrt{2} + 7)
= (sqrt{2} + 1)^3
Assim, na expressão temos (já substituindo o que foi descoberto e efetuando
as multiplicações de expoente):
[(sqrt{2} + 1)^4016]/[(sqrt{2} + 1)^4014] + (sqrt{2} - 1)^2
Efetuando a divisão:
(sqrt{2} + 1)^2 + (sqrt{2} - 1)^2
Assim, desenvolvendo (no fim nem precisava transformar em quadrado da soma a
parte fora da fração...):
3 + 2*sqrt{2} + 3 - 2*sqrt{2} = 3 + 3 = 6
Logo, o número é um múltiplo de 6!
Boa Noite e espero que eu tenha sido claro e compreensível.
Vale a pena frisar que as mudanças elementares e até bobas dos "produtos
notáveis" são apenas para facilitar visualização. Pra mim isso funciona
muito bem... pode não fazer diferença para alguns...
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Rafael Ando
Enviada em: sexta-feira, 22 de agosto de 2008 13:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Hm... Eu sei q da 6 exato... Tava falando q se o 3-2sqrt(2) estivesse
no denominador, I resultado nao seria inteiro...
On 8/22/08, JOSE AIRTON CARNEIRO <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Dá 6 exato.
>
> Em 22/08/08, Rafael Ando <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>>
>> Hm.... daria um numero apenas um pouquinho MENOR que 3+2sqrt(2), eu quis
>> dizer....
>>
>> 2008/8/22 Rafael Ando <[EMAIL PROTECTED]>
>>
>>> Bom, eu não vi o enunciado do problema propriamente dito, mas tenho
quase
>>> certeza que é somado... o resultado nem da inteiro se fizer parte do
>>> denominador (daria um numero apenas "um pouquinho maior" que
3+2sqrt(2)).
>>>
>>> 2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior <[EMAIL PROTECTED]>
>>>
>>> O + 3 - 2* raiz quadrada de 2 faz parte do denominador ou é somado à
>>>> fração existente?
>>>>
>>>> 2008/8/21 JOSE AIRTON CARNEIRO <[EMAIL PROTECTED]>
>>>>
>>>> Obrigado pessoal, falei calculadora por falar, mas o que usei foi o
>>>>> Mathematica 5 que efetua qualquer tipo de cálculo e encontrei 6.
>>>>> Airton
>>>>>
>>>>>
>>>>> Em 21/08/08, Rafael Ando <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>>>>>>
>>>>>> Interessante, eu pensei a mesma coisa quando eu vi! acho que mesmo
com
>>>>>> uma hp49 seria dificil...
>>>>>>
>>>>>> 2008/8/21 Maurício Collares <[EMAIL PROTECTED]>
>>>>>>
>>>>>>> Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora? (com
>>>>>>> uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos precisão
>>>>>>> arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um
>>>>>>> problema
>>>>>>> similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os
>>>>>>> últimos
>>>>>>> três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos
>>>>>>> problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em <
>>>>>>> http://code.google.com/codejam/>, lá tem uma análise detalhada da
>>>>>>> solução do problema que acabei de mencionar)
>>>>>>>
>>>>>>> --
>>>>>>> Abraços,
>>>>>>> Maurício
>>>>>>>
>>>>>>>
>>>>>>> On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO <
>>>>>>> [EMAIL PROTECTED]> wrote:
>>>>>>>
>>>>>>>> O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2
>>>>>>>> +
>>>>>>>> 7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número:
>>>>>>>> a) múltiplo de 11
>>>>>>>> b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008
Resp.
>>>>>>>> d
>>>>>>>> c) múltiplo de 5
>>>>>>>> d) múltiplo de 3
>>>>>>>> e) primo.
>>>>>>>>
>>>>>>>
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>>>>>> --
>>>>>> Rafael
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Rafael
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