Bom, eu estava lendo a lista, e vi este belo problema. E fiquei pensando como fazer. Dando uma "espiada" nas soluções (principalmente, vendo como cada um pensava em resolver !), eu vi que o buraco era bem mais embaixo. Hoje de manhã, eu tentei fazer uma coisinha ou outra, e acabei de ver uma solução. Eu não vou negar que ela foi um pouco influenciada pelo Ponce (porque usa ângulos !), mas ela tem o mérito de fazer umas contas, e mostrar o poder de "variáveis implícitas".
Aproveitando o enunciado do Ponce : > Existe uma sala quadrada de lado L. > Em um dos lados existe uma porta do tamanho da parede, ou seja, L. > Portanto uma das paredes e' so' a porta. > Chame esse quadrado (sala) de ABCD, e seja o segmento AB a porta. > Essa porta, ela se abre de um jeito particular: o ponto A da mesma > segue em linha reta pelo segmento AB, enquanto o ponto B dela segue > reto pelo segmento BC. > Portanto, quando ela abre, ela varre certa area de dentro da sala. > Qual o valor dessa area? Bom, acho que todo mundo já fez o desenho da situação... e eu fiz ao contrário (eu botei a porta pra "subir" no eixo x = 1, e não x = 0, como todo mundo). Isso não muda nada, mas vai mudar um pouquinho a notação. (eu desenhei AB a base, e orientei "trigonometricamente" os vértices, e assim o C ficou sendo o (1,1), e não o A = (0,1) e B=(0,0) e C=(0,1) como na solução do Ponce, eu acho) Vamos lá : a porta está em y = 0, e sobe pela reta x = 1. Seja t (de theta) o ângulo que a tal porta faz com a base AB num dado instante. Seja x um ponto que está "pra lá" do ponto de encontro, ou seja, x > (1 - cos t). Como a gente tem um triângulo retângulo, de lados cos t e sin t, com ângulo em B = (1,0), o ponto de encontro com AB é ( 1 - cos t , 0). A altura acima do ponto x sobre a porta é sin t * (x - (1 - cos t)) / cos t = tg t * (x + cos t - 1) (por uma semelhança dos triângulos retângulos, o mais chatinho é ver o x - (1 - cos t), mas depois de ter achado o 1 - cos t antes, fica até natural. Muito bom, equação chatinha essa, não ? Vai ficar pior ! Vamos achar a altura máxima em x. Basta derivar em relação a t nesta equação (e é aí que fazer cos t, sin t é melhor do que usar uma coordenada linear na base, porque vai dar uns polinômios e raizes muito chatos... eu comecei assim...). Mas a equação é legal de derivar em t : sec^2 t (x + cos t - 1) + tg t (-sin t) = 0, ou seja (x + cos t - 1) = cos t * sin^2 t Pronto, a gente tem x. Pra achar a área, basta integrar a altura em x no ponto ótimo. Mas isso é muito difícil, porque implica resolver a equação em t. E é aí que entra a mágica das funções implícitas : é bem claro (mas se convençam disso por vocês mesmos) que entre 0 e pi/2 um theta corresponde a um "x ótimo" e inversamente, um x corresponde a um "t ótimo". Pronto, em vez de calcular integral de 0 a 1 de h(x) dx, a gente escreve x como função de t, e integra (mudando o limite da integral). E vai ficar bem legal, porque tem montes de coisas que vão simplificar (pra começar, o (x + cos t - 1) que vai embora !) integral de 0 a pi/2 de h(x(t)) d (x(t)) = integral de 0 a pi/2 tg t *(cos t * sin^2 t) d (x(t)) Pausa para calcular d (x(t)) : dx - sin t dt - 0 = (-sin t)sin^2 t + cos t * 2sin t cos t => dx = sin t - sin^3 t + 2 cos^2 t sin t = (sin t)(1 - sin^2 t + 2 cos^2 t) = sin t * 3 cos^2 t. E agora, é só juntar tudo, e correr pro abraço : integral de 0 a pi/2 sin t / cos t * cos t * sin^2 t * sin t * 3 cos^2 t dt = integral de 0 a pi/2 3 cos^2 t sin^4 t dt Bom, pra integrar isso, é só usar fórmulas de "arco - duplo", cos^2 t = (1 + cos 2t)/2. Como a integral é de 0 a pi/2, qualquer integral de cos 2t vai integrar de 1 a -1, e vai dar zero. Portanto, basta calcular o termo sem cos 2t ! 3 integral de 0 a pi/2 (1 + cos 2t)/2 * (1 - cos^2 t)^2 dt = 3 integral de 0 a pi/2 (1 + cos 2t)/2 * (1 - 2cos^2 t + cos^4 t) dt = 3 integral de 0 a pi/2 (1 + cos 2t)/2 (1 - 2(1 + cos 2t)/2 + (1 + cos 2t)^2/4) dt = 3 integral de 0 a pi/2 (1 + cos 2t)/2 (1 - (1 + cos 2t) + (1 + 2cos 2t + cos^2 2t)/4) dt = 3 integral de 0 a pi/2 (1 + cos 2t)/2 (-cos 2t + (1 + 2cos 2t + cos^2 2t)/4) dt = lembrando de desprezar os termos em cos 2t puros, e cos^3 2t que somam zero de 0 a pi/2 (depois de fazer a distributiva !): 3 integral de 0 a pi/2 1/2 ((1 + cos^2 2t)/4) + (cos 2t)/2 (-cos 2t + (2cos 2t)/4) dt = 3 integral de 0 a pi/2 1/8 + (cos^2 2t)/8 + (cos 2t)/2 (-cos 2t)/2 dt = 3 integral de 0 a pi/2 1/8 + (cos^2 2t)/8 - (cos^2 2t)/4 dt = 3 integral de 0 a pi/2 1/8 - (cos^2 2t)/8 dt = 3 integral de 0 a pi/2 1/8 - (1 + cos 4t)/2/8 dt = E como pro 4t vai ser a mesma coisa do 2t (dessa vez, dá a volta inteira no círculo) 3 integral de 0 a pi/2 1/8 - 1/16 dt = 3 * pi/2 * 1/16 = 3pi/32 (Ufffffffffffaaaaaaaaaaa, deu certo !) A solução parece grande (mas uma vez que se chega na integral, é bem fácil, é só longo de escrever), mas achei ela bonitinha pela mudança de variáveis que inverte a função altura(x, theta), usando o x(theta) em vez de theta(x) (que é o que a gente poderia querer calcular) e que torna tudo isso factível. ( E bom, esta é puramente "não-geométrica", e eu gosto de ver onde quando dá pra fazer sem usar muitas retas mágicas, ou idéias do Ponce :D) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
