Pessoal,
Não sei se já demonstratam isso, mas achei bem interessante, pela simplicidade
da solução que encontrei (vejam se tem algum erro, por favor.).
xn-1 + yn-1 = zn-1
Vamos considerar que n>=3 não divide x,yz
Assim, para x, y e z
xn ≡ x (mod n)
yn ≡ y (mod n)
zn ≡ z (mod n)
xn = x + nt ; como x divide xn e x, divide t (como n é primo e não divide x, x
não divide n)
xn-1 = x + nxto
xn-1 = 1 + nto
yn-1 = 1 + nt1
zn-1 = 1 + nt2
Se xn-1 + yn-1 = zn-1, então :
1 + nto + 1 + nt1 = 1 + nt2
1 + n (to + t1) = nt2
Da mesma forma, prova-se que n>=3 não pode dividir z , e deve dividir x ou y .
1 + nto + 1 + nt1 = nt3
2 + n(to + t1) = nt3 (como n >=3, n não divide o primeiro membro da
equação. Assim, se xn-1 + yn-1 = zn-1 tem solução, então n não pode dividir z.)
Ou seja, se a equação diofantina xn-1 + yn-1 = zn-1 (n primo) tem solução,
então n divide xye não divide z.
Como x2 + y2 = z2 tem solução, então 3 divide xy e não divide z em qualquer
triplo pitagórico primitivo.
Um Abraço,
Felipe
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