--- eritotutor <eritotu...@bol.com.br> wrote:
Boa noite amigos,
1- Se A contido em R^p e f:A ->R eh tal q as
derivadas parciais existem e sao limitadas numa
vizinhanca de c, c pertencente a A, entao f eh
continua.
2- Seja f definida numa vizinhanca de um ponto c
pert a R^2 com valores em R. Suponha q a derivada
parcial de f com relacao a primeira variavel exista
e seja continua numa vizinhanca de c e que a
derivada parcial de f com relacao a segunda variavel
exista. Prove que f eh dif. em c.
Para simplificar, podemos, sem perda de generalidade, supor que c = (0,0).
Suponhamos que f_1 exista em (0,0) e que f_2 seja continua em (0,0) e exista
numa bola aberta B centrada na origem.
If h1<>0 e h_2<>0 tem valor absoluto suficientemente pequeno para que (h1,h2)
esteja em B, entao f(h1,h2) - f(0,0) = f(h1,h2) - f(h1,0) + f(h1,0) - f(0,0)
(Eq. 1).
Como f_2 existe em B, podemos aplicar o Teorema do Valor Medio (caso
unidimensional) para obter um ponto p no segmento de reta unindo (h1,0) e (h1,
h2) que satisfaca a f(h1,h2) - f(h1,0) = f_2(p)*
h2. Assim, podemos escrever f(h1,h2) - f(h1,0) = f_2(0,0)*h2 + [f_2(p) -
f_2(0,0)]*h2 .
Como f_1 existe em (0,0), temos que f(h1,0) - f(0,0) = f_1(0,0)*h1 + o(h1),
sendo que o(h1)/h1 tende a zero quando h1 vai para zero.
Considerando agora a continuidade de f_2 em (0,0), notamos que, se (h1,h2) ->
(0,0), entao g(h1,h2) =[f_2(p) - f_2(0,0)] -> 0 (considerando que p depende de
h1 e de h2). Substituindo-se na Eq.1 e rearranjando-se as parcelas, chaegamos a
que que f(h1,h2) - f(0,0) =
f_1(0,0)*h1 + f_2(0,0)*h2 + o(h1) + g(h1,h2)*h2 = f_1(0,0)*h1 + f_2(0,0)*h2 +
|(h1,h2)|* v(h1,h2), sendo v(h1,h2) = [o(h1) + g(h1,h2)*h2]/|(h1,h2)| =
o(h1)/|(h1,h2)| + g(h1,h2)*[{h2/|(h1,h2)| = (o(h1)/h1)*(h1/|(h1,h2)| +
g(h1,h2)*[{h2/|(h1,h2)| .
Mas como|h1|/|(h1,h2| e |h2|/|(h1,h2)| permanecem limitadas quando (h1, h2)
-> (0,0), inferimos que v(h1,h2) ->0. Usando a notacao o, isto significa que
f(h1,h2) - f(0,0) =
f_1(0,0)*h1 + f_2(0,0)*h2 + |(h1,h2)|* o(|(h1,h2)|) = f_1(0,0)*h1 + f_2(0,0)*h2
+ |h| * o(|h| ., que This shows f is differentiable at (0,0) and it's
derivative is the linear function that sends (h1,h2) into f_1(0,0)*h1
+ f_2(0,0)*h2.
The n_th dimensional case can be treated similarly, we walk inside the
ball where f_2,...f_n are continuous, increasing only one variable at
each move in this ball, and applying MVT.
Seems the proof of this fact is not that hard, unless, of course, I
made a mistake. Anyway, it came as a surprise to me that this
condition for diffrentiabilty holds.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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