On Mon, Mar 2, 2009 at 8:12 PM, luiz silva <luizfelipec...@yahoo.com.br> wrote: > Pessoal, Oi Luiz !
> Alguém sabe como se expande (a+b) ^ (2/c) ? Se expande da "mesma" maneira que se o expoente fosse inteiro. Aliás, é exatamente por isso que a fórmula é conhecida como binômio de *Newton* e não de outras pessoas que já conheciam a expansão para os inteiros : foi ele o primeiro a utilizar um expoente 1/2 e "generalizar" para "qualquer" expoente. E é claro que na época, os números irracionais eram uma grande dificuldade, e havia muita incerteza, mas ele propôs a generalização correta. Então vamos lá : o primeiro passo é ver como funcionam os coeficientes binomiais, e a maneira "malandra" de vê-los é como um desenvolvimento de Taylor. Se n é inteiro, (1+x)^n = 1 + nx + n(n-1)x^2/2! + n(n-1)(n-2)x^3/3! + ... + n(n-1)...2*1x^n/n! e o próximo termo é zero. Se n não é inteiro (digamos r real), você pode continuar a derivar "ad eternum" e assim você terá (1+x)^r = 1 + rx + r(r-1)x^2/2! + r(r-1)(r-2)x^3/3! + ... Repare que nós mantivemos a fórmula indutiva que é multiplicar em cima por un cara 1 unidade menor, e embaixo por um cara uma unidade *maior* (que vem da expansão de Taylor !). Repare também (daí eu não sei se você já estudou séries, mas eu acho que é uma excelente razão pra estudar) que a fórmula que você tem é convergente para |x| < 1, pelo teste da razão : o quociente entre o k+1-ésimo termo e o k-ésimo é (r-k)/k * x e como r está fixo e k tende a infinito, essa razão tente a -x, logo converge para |x| < 1, diverge para |x| > 1 (exercício : o que fazer nesse caso ? idéia : pense como funcionam as séries geométricas de razão > 1, e como fazer pra somar), e o caso x= +- 1 tem que ser tratado na mão, mas de qualquer forma dá 0^r ou 2^r *sem* fazer a expansão, então a gente pode pensar que não vale tanto a pena tratar este caso (bom, para n=-1 é legal, porque dá uma fórmula para ln(2) após integração). Essa parafernália toda de séries (que foi feita por caras muito bons, e foi consolidada uns 200 anos depois de o Newton ter proposto a fórmula dele) serve pra provar que realmente a expansão que você achou é válida, e você pode dormir tranquilo. (o que não impediu os matemáticos anteriores de usá-la, eles simplesmente viam, numericamente, que dava certo, e não tinham tantas dúvidas fundamentais que só apareceram quando os próprios matemáticos : Cauchy, Fourier, Lagrange, Euler, e vários outros, começaram a abusar demais dessas e outras séries e chegar a resultados absurdos - pra época - onde funções contínuas convergiam para funções descontínuas, integrais de somas não davam somas das integrais e assim por diante, e daí foi necessário estudar melhor tudo o que se fazia antes para ter certeza do que podia e o que não podia ser usado, e a maior parte dos resultados, mesmo que talvez não a maior parte das demonstrações, foi preservada !) Pra resumir, então : defina o número binomial de (r, n) da mesma forma que antes, ou seja binomial(r,n) = r(r-1)...(r-n+1)/n!, ou seja, um polinômio em r, e, para |x| < 1 você pode por (1+x)^r = soma(n desde 0 até infinito) binomial(r,n)x^n. Se você quiser (a+b)^r, pegue o menor deles (em módulo) e expanda segundo potências crescentes dele (o que corresponde a fatorar por a^r e desenvolver (1 + (b/a))^r e depois multiplicar, se |a| > |b|). > Abs > Felipe Um grande abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
