Oi, Marcelo: Como Felipe já assinalou, seu equívoco foi usar a MESMA letra para designar duas coisas: Em P(k) = > 3k = (2^2k) - 1 o segundo k é apenas um indicativo que a expressão P(k) é divisível por 3; Logo "merece" outra letra... Ou seja, P(k) = 3 M, para algum inteiro M.... etc Dai, P(k+1) = 2^2(k+1) - 1 = 4 x (2^2k) - 1; mas 2^2k - 1 = 3M ou seja, 2^2k = M + 1; substituindo isto na expressão de P(k+1) voce obtém: P(k+1) = 4(3M + 1) - 1 = 3M +3 = 3(M+1). Como M é inteiro, 3(M+1) é múltiplo de 3 e está feito o "passo da indução propriamente dita". Outras 2 soluções (sem muito formalismo nem indução, mas usando conhecimentos simples), são (além da solução já postada) : 1) Basta observar que a expressão dada é o produto de dois ímpares consecutivos, logo um deles é múltiplo de 3: [ (2^n) + 1 ]. [ (2^n) - 1 ] = impar.( impar +2) 2) A expressão é igual a 4^n - 1 que é divisível por 3 pois a soma (dos termos da PG 1, 4, 16, 64,... 4^(n-1)) é um valor inteiro: (4^n - 1)/3. Logo, 4^n - 1 é divisível por 3... Ou dito de outra forma: a^n - 1 é divisível por a - 1, para todo a inteiro (diferente de 1 , é claro). Isto pode ser justificado pro divisão de polinômios, se você já os estudou ou por uma PG, como sugerida anteriormente. Abraços, Nehab luiz silva escreveu: ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= |
- [obm-l] Múltiplo de 3 por indução Marcelo Rodrigues
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