Existem mais possibilidades a serem removidas na questão 4... Sabemos que se um número é, simultaneamente, um quadrado perfeito e um cubo perfeito, então ele é uma sexta potência.
Logo, basta remover todas as sextas potências de 1 a 1000000=10^6, ou seja, remover 10: Então temos: 1000 + 100 - 10 = 1090. Como o problema pergunta quantos números NÃO são quadrados nem cubos, a resposta é 1000000-1090 = 998910. 2009/4/24 Joao Maldonado <joao_maldonad...@yahoo.com.br> > Ola Vinícius, aí vai... > > 1.) O número não vai começar com 0 e o número deve começar com 53, 54, 56, > 57, 6 ou 7. > 53, 54, 56 ou 57 -> 4.6!/3! > 6 ou 7 -> 2.7!/3! > Total = 6.5.4.(4+2.7) = 120.18 = 2160 possibilidades. > > 2.) 6! = 720 posibilidades (porém nesse resultado o mesmo cubo pode ser > encontrado de 6 maneiras somente fazendo uma rotação de um outro cubo), caso > contrário seriam 6!/6 = 5! = 120 possibilidades > > 3.) a) n! > b) Caso a minha interpretação esteja correta como voxê colocou a conjunção > "e" ao invés da "ou" no final da frase, não poderia acontecer as 3 coisas > SIMULTANEAMENTE, ou seja, o primeiro lugar ser o número 1, o segundo o > número 2 e o terceiro o número 4 é uma possibilidade válida. > Consequentementeteríamos (n-3)! possibilidades da corrida terminar com > 1-2-3, assim a resposta é: n! - (n-3)! > > 4.) Esse quatro é mais legalzinho. > OK, quadrado perfeito: 1² = 1 e 1000² = 1000000 -> Teremos 1000 quadrados > perfeitos. > cubos perfeitos -> 1³ = 1 e 100³ = 1000000 -> Teremos 100 cubos perfeitos. > Toda quarta potência é um quadrado então consequentemente podemos ignorar > esta opção. Temos que tirar os casos em que x² = y³ -> ou seja, x = > a1^6k.a2^6k...an^6k e y = b1^6k.b2^6k...bn^6k para todo ai e bi primos (além > da solução x=1). > Temos no máximo x ou y produto das potências de 2 primos pois 2^6.3^6.5^6 > > 1000000 > Temos k = 1 pois: 2^12.3^12 > 1000000 > Possibilidades: (1) ; 2^6.3^6 = (46656) ; 2^6.5^6 = (1000000) > Total = 1000 + 100 - 3 = 1097 possiblidades. > > Abraço, > > João > > --- Em *sex, 24/4/09, Vinícius <pvni...@gmail.com>* escreveu: > > > De: Vinícius <pvni...@gmail.com> > Assunto: [obm-l] Questões de Combinatória. (ajuda) > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Data: Sexta-feira, 24 de Abril de 2009, 16:21 > > > 1. Quantos números inteiros de cinco algarismos distintos e maiores do que > 53.000 podem > ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? > > 2. De quantos modos se pode pintar um cubo, usando seis cores fixas > distintas, sendo cada > face de uma cor? > > 3. Em uma corrida há n participantes. Antes de a corrida começar, cada > participante recebe > um número entre 1 e n. > a) De quantas maneiras diferentes os participantes podem terminar a > corrida? > b) De quantas maneiras o 1o lugar NÃO é o participante número 1, o 2o lugar > NÃO é o > participante número 2 e o 3o lugar NÃO é o participante número 3? > > 4. Quantos inteiros entre 1 e 1000000, inclusive, não são quadrados > perfeitos, nem cubos > perfeitos,nem quartas potências perfeitas? > > > ------------------------------ > Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top > 10<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/>- > Celebridades<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/>- > Música<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/>- > Esportes<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/> > -- Rafael