Valeu Márcio!!. Quando eu peguei esse problema a princípio eu tratei o
problema de uma forma parecida com a tua. Mas ontem eu percebi que se
construíssemos um triangulo equilátero auxiliar ACE e depois ptlolomeu no
quadriátero APCE e BPCD. E so no final usa-se a lei dos cossenos pra terminar.
Obrigado!!!!
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De: Márcio Pinheiro <profmar...@yahoo.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 8:39:51
Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!!
A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a
parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem
conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss
em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0,
0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de
uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P
(m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n -
q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que:
(vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) +
iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y).
Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y
= (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas "de cabeça" :D).
Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre
os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e
bc também o
são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria
acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também,
racional.
É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por
exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria.
Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra...
Espero ter contribuído.
Márcio Pinheiro.
--- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo <cleubersa...@yahoo.com.br> escreveu:
De: Cleuber Eduardo <cleubersa...@yahoo.com.br>
Assunto: [obm-l] problema interessante!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: cleubersa...@yahoo.com.br
Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06
Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a
forma como o fiz é bastante enfadonha.!!!!1.Let ABC be a right triangle (∠A =
90◦). On the hypotenuse BC constructBCD. Prove that the lengths of the segments
AB,AC, and AD cannot all be rational.donha. Obrigado desde já.
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in the exterior the equilateral triangle
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