Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

[Carlos Nehab]

Oi, Paulo, Eduardo e colegas, Uma curiosidade:  o problema de determinar os triângulos de lados inteiros e cuja área e perímetro são representados pelo mesmo número, fixada a unidade, também possui 5 soluções, exatamente as soluções do problema proposto pelo Eduardo cuja solução você postou. Fica como desafio perceber porque os problemas são.... equivalentes... Este problema (o que eu mencionei) foi publicado na Revista do Professor de Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática e alguns de seus textos (da Revista) são utilizados pelo MEC em uma série de publicações para apoio aos professores de Matemática e disponível em seu portal. O Índice da Revista do Professor de Matemática você pode ver em http://www.rpm.org.br/cms/indice.pdf e a aconselho fortemente para os professores que atuam até o nível médio, pois possui centenas de idéias criativas. O texto (do MEC) a que me refiro você pode ver em http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf É uma iniciativa louvável do MEC, cujo site, inclusive, passou por uma reforma recentemente e está 1000 vezes melhor. Dê também uma olhada em (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas) http://www.obmep.org.br/ e veja se a gente não tem motivo para ficar orgulhoso de nosso país. Grande abraço, Nehab Paulo Santa Rita escreveu: Ola Wilner e demais colegas desta lista ... OBM-L, Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem ! Vem ajudar a levantar o nivel de discussao da nossa lista ! Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer, eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos. Sejam A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode ser expressa nos seguintes termos : A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5 Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na expressao acima, chegaremos a : (A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C) (1) Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao direta concluimos que os lados A,B e C do nosso interesse se enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira possibilidade. Facamos entao : B+C-A = X, A+C-B=Y e A+B-C = Z Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos outros dois, fica facil ver o seguinte : 1) X, Y e Z são inteiros pares 2) X+Y+Z = A+B+C 3) 2A=Y+Z, 2B=X+Z e 2C=X+Y E agora a expressao (1) pode ser colocada assim : XYZ / (X+Y+Z) = 16. E daqui, sai : (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2) Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16. Logo : 3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48. 4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou igual a 1/48. Seja portanto : XY =< 48 e XZ >= 48. Com as restricoes acima ja e possivel identificar os triangulos que estamos procurando. Para ver como fazer isso, note que : (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) => 16Z+16Y+16X=XYZ => 16Y+16X = (XY - 16)Z => Z = (16Y + 16X) / (XY - 16) Mas Z >= 48/X. Logo : (16Y + 16X) / (XY - 16) >= 48/X => 16/X < Y =< (24/X)+(X/2) CASO X=2 ( Y =< 24 e Z >= 24 ) 16/2 < Y =< (24/2)+(2/2) => 8 < Y =< 13 => Y=10 ou Y=12 Y = 10 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4) => Z = 48 A=(10+48)/2=29, B=(2+48)/2=25 e C=(2+10)/2=6 Triangulo1 : (A,B,C)=(29,25,6) Valido Y=12: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8) => Z = 28 A=(12+28)/2=20, B=(2+28)/2=15 e C=(2+12)/2=7 Triangulo2 : (A,B,C)=(20,15,7) Valido *** CASO X=4 ( Y =< 12 e Z >= 12 ) 16/4 < Y =< (24/4)+(4/2) => 4 < Y =< 8 => Y= 6 ou Y=8 Y = 6 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8) => Z = 20 A=(6+20)/2=13, B=(4+20)/2=12 e C=(4+6)/2=5 Triangulo3 : (A,B,C)=(13,12,5) Valido Y=8: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16) => Z = 12 A=(8+12)/2=10, B=(4+12)/2=8 e C=(4+8)/2=6 Triangulo : (A,B,C)=(10,8,6) Valido *** CASO X=6 ( Y =< 8 e Z >= 8 ) 16/6 < Y =< (24/6)+(6/2) => 8/3 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6 Y = 4 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8) => Z = 20 A=(4+20)/2=12, B=(6+20)/2=13 e C=(4+6)/2=5 Triangulo : (A,B,C)=(12,13,5) Invalido : ja descoberto Y=6: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/20) => Z = 9.6 Invalido : Z nao e inteiro par *** CASO X=8 ( Y =< 6 e Z >= 6 ) 16/8 < Y =< (24/8)+(8/2) => 2 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6 Y = 4 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16) => Z = 12 A=(4+12)/2=8, B=(8+12)/2=10 e C=(8+4)/2=6 Triangulo4 : (A,B,C)=(8,10,6) Invalido : ja descoberto Y=6: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/32) => Z = 7 Invalido : Z nao e inteiro par *** CASO X=10 ( Y =< 4.8 e Z >= 4.8 ) 16/10 < Y =< (24/10)+(10/2) => 1.6 < Y =< 7.4 => Y= 2 ou Y=4 Y = 2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4) => Z = 48 A=(2+48)/2=25, B=(10+48)/2=29 e C=(10+2)/2=6 Triangulo : (A,B,C)=(25,29,6) Invalido : ja descoberto Y=4: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24) => Z = (28/3) Invalido : Z nao e inteiro par *** CASO X=12 ( Y =< 4 e Z >= 4 ) 16/12 < Y =< (24/12)+(12/2) => (4/3) < Y =< 8 => Y= 2 ou Y=4 Y = 2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8) => Z = 28 A=(2+28)/2=15, B=(12+28)/2=20 e C=(12+2)/2=7 Triangulo : (A,B,C)=(15,20,7) Invalido : ja descoberto Y=4: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24) => Z = 8 A=(4+8)/2=6, B=(12+8)/2=10 e C=(12+4)/2=8 Triangulo : (A,B,C)=(6,10,8) Invalido : ja descoberto *** CASO X=14 ( Y =< 3.4... e Z >= 3.4... ) A partir daqui, devido a restricao acima, basta analisarmos os casos em que Y=2 Y = 2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(16/12) => Z nao e inteiro => o triangulo e invalido *** CASO X=16, Y=2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(18/16) => Z = 18 A=(2+18)/2=10, B=(16+18)/2=17 e C=(16+2)/2=9 Triangulo5 : (A,B,C)=(10,9,17) Valido *** CASO X=18, Y=2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(20/20) => Z = 16 A=(2+16)/2=9, B=(16+18)/2=17 e C=(2+18)/2=10 Triangulo : (A,B,C)=(9,17,10) Invalido : ja descoberto *** CASO X=20, Y=2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(22/24) => Z = 44/3 Invalido : Z nao e inteiro par *** CASO X=22, Y=2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(24/28) => Z = 96/7 Invalido : Z nao e inteiro par *** CASO X=24, Y=2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(26/32) => Z = 13 Invalido : Z nao e inteiro par *** Existem portanto apenas 5 triangulos de lados inteiros nos quais o raio do circulo inscrito vale 2. Sao eles : (29,25,6), (20,15,7),(13,12,5), (10,8,6) e (10,9,17). E digno de nota que o triangulo de lados (10,8,6) tem o raio do circulo inscrito igual a 2 e o raio do circulo circunscrito igual a 5, ou seja, e um triangulo de lados inteiros cujos inraio e circunraio sao ambos inteiros E claro que todos os triangulos da forma da forma (10N,8N,6N), onde N = 1 detem esta peculiaridade, o mesmo podendo-se dizer dos triangulos da forma (26N,24N,10N). Um Abraco a Todos PSR,31905090A21 2009/2/13 Eduardo Wilner <eduardowil...@yahoo.com.br>: Determinar todos os triangulos de lados inteiros (comprimento do lado = inteiro) com inraio igual a dois. ________________________________ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================