Olá colegas da lista e, particularmente, Diogo F.N.
Caro Diogo F.N., há alguns dias respondi três perguntas que você mandou para a nossa lista. Infelizmente dei uma resposta errada para o problema nº 01. O problema dizia: sejam a e b inteiros tais que (a , b )=1 , isto é, a e b são relativamente primos. Pede-se provar que ( a + 2b , b + 2a ) = 1 ou 3. Seja d o mdc entre a + 2b e b + 2a . Assim d I a + 2b e d I b + 2a . Portanto d I ( a + 2b ) + ( b + 2a ) = 3 ( a + b ) e daí d I ( 3a + 6b ) ( 3a + 3b ) = 3b . Analogamente d I 3a . Pelo teorema de Bézou existem inteiros x e y tais que a x + b y = 1 e, portanto, (3a) x + (3b) y = 3. Agora se d I 3a e dI 3b então d I 3 , assim d é igual a 1 ou 3 . Só percebi meu erro quando passei o problema para meus alunos e tentei resolve-lo no quadro negro. Quanto ao segundo problema também há uma solução muito melhor do que a que eu mencionei. Provar que, sendo k um inteiro, k (k + 1) ( k +2 ) ( k + 3 ) + 1 é um quadrado perfeito. De fato, vamos fatorar a expressão dada da seguinde forma: k (k + 1) ( k +2 ) ( k + 3 ) + 1= [ k ( k + 3 ) ] [ ( k + 1 ) ( k + 2 ) ] + 1 = [ k ^2 + 3k ] [ k^2 + 3k + 2 } = [(k^2 + 3k + 1 ) 1 ] [ (k^2 + 3k + 1 ) + 1 ] + 1 = (k^2 + 3k + 1 )^2 1 + 1 = (k^2 + 3k + 1 ) ^2. Expressão que exibe o quadrado perfeito. Caro Diogo queira desculpar minha falha. Um abraço Osmundo Bragança
