A ideia geral é a seguinte:
i) Se X é finito, então basicamente X pode ser rotulado como
X={1,2,3,...,n}. Considere a função f(m)=m+1 (exceto por f(n), que é
definido como f(n)=1). Agora mostre que os únicos conjuntos estáveis
relativamente a f são vazio e X.
ii) Se X é infinito, seja f:X->X uma função qualquer. Tome um elemento
qualquer x de X
e todos os seus transformados, isto é, tome
Y={x,f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),...}. Vou escrever f^n(x) para f(f(f... n
vezes... (x)....).
Há apenas duas opções:
a) se existe m tal que f^m(x)=x, então Y é finito com no máximo m elementos.
Mas Y é estável, e não pode ser X (pois X é infinito).
b) se não existe esse m, tome Z=Y-{x}. Então Z é estável, e não é X (pois x
está em X mas não em Z) nem vazio (pois f(x) está em Z, já que f(x)<>x).
Abraço, Ralph.
2010/1/7 Rhilbert Rivera <rhilbert1...@hotmail.com>
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> Uma ajuda por favor:
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> *) Seja f:X->X uma função. um subconjunto Y'C'X(Y contido em X) chama-se
> estável relativamente a f quando f(Y)'C'Y. Prove que um conjunto X é finito
> se, e somente se, existe uma função f:X->X que só admite os subconjuntos
> estáveis ( ) (vazio) e X.
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> Valeu!
>
> (^_^)
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