Desculpa, mas eu só percebi o erro depois de enviar, eu não preciso supor x>y ou x<y porque no último passo tem-se que |0|<|x-y| e o módulo de um numero |a| qualquer real é sempre maior ou igual a zero então para a condição exposta pelo problema é válida, foi uma desatenção minha, mil perdões.
Date: Mon, 8 Mar 2010 00:49:00 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Res: [obm-l] Média Aritmética e Geométrica From: fcostabarr...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Ah, claro, podemos ter x= y, Então a hipótese seria x >= y (ainda sem perda de generalidade). Em 8 de março de 2010 00:25, Francisco Barreto <fcostabarr...@gmail.com> escreveu: Em 7 de março de 2010 23:19, Vitor Paschoal <vitor_hugo_pasch...@hotmail.com> escreveu: Boa noite pessoal da lista, pensei em uma forma de resolver essa inequação, tenho dúvidas se esta correta ou não, mas ai vai: Pela propriedade de tricotomia suponhamos que x>y e que tanto x quanto y são diferentes de 0, temos então - (x.y)^1/2 < (x+y)/2 Por que temos isso? Não entendi. Gostaria que você me explicasse isso. Você pode continuar com sua hipótese de x > y sem perda de generalidade, e supor (por absurdo) que temos sqrt(xy)> (x+y)/2 e chegar a conclusão de que deve se ter 0 > x -y, o que pela hipótese não é possível. Daí você conclui que sqrt(xy) <= (x+y)/2. Mas eu acho melhor provar de maneira direta. Elevando ambos os lados da inequação ao quadrado temos: ((x.y)^1/2)^2 < (x+y)^2/4 Pela monotonicidade multiplicativa podemos multiplicar ambos os lados por 4 sem mudar o sinal da desigualdade 4.x.y < x^2+2.x.y+y^2 Pela monotonicidade aditiva podemos somar os opostos de 4.x.y a ambos os lados: 0 < x^2-2.x.y+y^2 Sabendo que x^2-2.x.y+y^2 = (x-y)^2 e que 0^1/2=0 temos 0 < x - y como fora suposto anteriormente que x>y logo x-y>0, então a proposição é verdadeira. Date: Sun, 7 Mar 2010 21:52:25 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Res: [obm-l] Média Aritmética e Geométrica From: fcostabarr...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Para o caso n=2 não há indução. Em 7 de março de 2010 14:40, <dnasime...@terra.com.br> escreveu: Tente usar indução finita para resolver a desigualdade ------Mensagem original------ De: Emanuel Valente Remetente: owner-ob...@mat.puc-rio.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Responder a: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Média Aritmética e Geométrica Enviada: 6 Mar, 2010 16:01 Pessoal, eu tinha feito esse exercício no cursinho, mas não lembro por onde saí. Alguma luz? Sejam x,y numeros reais positivos. Prove que: sqrt(x.y) < (x+y)/2 -- Emanuel ========================================================================= Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= E-mail verificado pelo Terra Anti-Spam. Para classificar esta mensagem como spam ou não spam, visite http://ecp.terra.com.br/cgi-bin/reportspam.cgi?+_d=SCYxODMxNjQ5MCNwZXJtIXRlcnJhJjEsMTI2NzkwMzAxMC4yMDI5NS40NzkwLnF1ZXNuZWwudGVycmEuY29tLDMzNTI=TerraMail Verifique periodicamente a pasta Spam para garantir que apenas mensagens indesejadas sejam classificadas como Spam. Enviado pelo meu aparelho BlackBerry da Claro ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= Coloque sua foto num tema anos 60, 70 e 80. Conheça o novo site de I Love Messenger. _________________________________________________________________ Navegue sem medo com o Internet Explorer 8. Clique aqui para instalar gratuitamente. http://go.microsoft.com/?linkid=9707132
