veja AB como uma matriz onde cada coluna é uma combinação linear das colunas de A, logo o posto de AB deve ser menor ou igual ao posto de A (pois cada coluna de AB está no espaço-coluna de A).
veja AB como uma matriz onde cada linha é uma combinação linear das linhas de B. vc conclui que posto(AB)<=posto(B) e acabou. Nunca vi essa definição alternativa para o posto... tem certeza que é assim mesmo? Em 30 de março de 2010 10:51, Lucas Prado Melo <luca...@dcc.ufba.br> escreveu: > Olá, > > eu estava resolvendo os exercícios do livro "Introdução a algoritmos" de > Cormen et al. E encontrei o que eu acredito ser um erro. > > No livro, a definição dita alternativa para o "rank" (não sei traduzir) de > uma matriz 'A' mxn é o maior valor 'r' tal que existam duas matrizes (uma > mxr e outra rxn) tais que seu produto seja igual à 'A'. (A definição > principal é a de que uma matriz tem rank 'r' se existirem no máximo 'r' > linhas/colunas linearmente independentes). > > O livro também fala que para uma matriz 'A' mxn, rank(A) <= min(m, n). > > Então, na questão 31.1-9, é pedido pra provar que rank(AB) <= min( rank(A), > rank(B) ). > No entanto, eu consegui provar que min( rank(A), rank(B) ) <= rank(AB) > > Este é meu argumento: > Seja 'A' uma matriz mxk > e seja 'B' uma matriz kxn > > Então rank(AB) >= k, já que é possível multiplicar duas matrizes mxk e kxn > pra encontrar AB, mas não se sabe se é possível encontrar duas matrizes de > maiores dimensões para se obter AB. (Ver definição acima) > > Sabemos que rank(A) <= min(m, k) e que rank(B) <= min(k, n) > E sabemos que k >= min(m, k) e que k >= min(k, n) > > Para a matriz A, temos: > rank(A) <= min(m, k) <= k <= rank(AB) > > Portanto, rank(A) <= rank(AB). De forma análoga, rank(B) <= rank(AB) e, > portanto, > rank(AB) >= max( rank(A), rank(B) ) >= min( rank(A), rank(B) ) > > > Eu cometi algum engano? Se eu realmente cometi e alguém pudesse responder > este exercício pra mim, eu ficaria grato ;) > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
