2010/5/10 Johann Dirichlet <peterdirich...@gmail.com> > Considere a operação . entre dois vetores do R^3 definida por: > (x,y,z) . (a,b,c) = (xa+yc+zb,xc+yb+za,xb+ya+zc) > > Demonstre que para todo K>0, se (x,y,z)^k=(0,0,0) entao (x,y,z)=(0,0,0) > > A idéia é perceber que essa operação é equivalente ao produto de uma matriz M por v = (x,y,z). Essa matriz é:
| a c b | | c b a | | b a c | Mas eu sei que se M*v = 0 então v pertence ao núcleo de M. Vou calcular os autovalores de M para saber seu núcleo. Após contas ... L^3 - k*L^2 - q*L + k*q = 0, onde k = (a+b+c); q = (a^2 + b^2 + c^2 - a*c - a*b - b*c); e L é lâmbda :) Isso dá (L-k)*(L^2-q) = 0. Agora, se M tem núcleo não trivial então ou k=0 ou +- sqrt(q)=0 => q=0. (Se M tem núcleo trivial então M*v = 0 => v = 0 o que termina o problema.) ________________________________________________ Vou analisar os 2 casos. 1o caso, q=0: q = (a^2 + b^2 + c^2 - a*c - a*b - b*c) = ((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2)/2, daonde concluímos que q=0 => *a=b=c*. Para clarear seja (x,y,z)^i = (x_i, y_i, z_i). Se (x,y,z)^k = 0, a matriz que estamos trabalhando é a matriz onde a = x_(k-1), b = y_(k-1), c = z_(k-1). Voltando, se a=b=c então (x,y,z)*(a,b,c) = (a*(x+y+z), a*(x+y+z), a*(x+y+z)). Se v^k = 0 então (x+y+z) = 0 ou a=b=c=0. Porém (a,b,c) = v^(k-1). Se v^(k-1) = 0, aplicamos o mesmo raciocínio e vemos que v^(k-2) = 0 ou (x+y+z) = 0. É fácil ver que por indução v^1 = 0 ou (x+y+z) = 0, ou seja (x+y+z) = 0. Mas a soma dos termos de (x,y,z) . (a,b,c) = (xa+yc+zb,xc+yb+za,xb+ya+zc) é (x+y+z)*(a+b+c). Ou seja se (x+y+z) = 0 então todos os v^i terão soma dos termos 0. Mas como nesse caso tínhamos a=b=c, agora também temos a+b+c=0, logo a=b=c=0. Ou seja concluímos que se v^k = 0 então v^(k-1) = 0. Por indução v = 0, que é o que queríamos provar. _________________________________________________ 2o caso, k=0, e q !=0 (!= significa diferente) k = a+b+c = 0. Sabemos que a soma dos termos de v^i é (x+y+z)*(a+b+c), onde (a,b,c) = v^(i-1). Ou seja, x_i + y_i + z_i = 0 => (x+y+z) = 0 ou x_(i-1) + y_(i-1) + z_(i-1) = 0. É fácil ver que por indução *(x+y+z) = 0*. Nesse caso, estou assumindo que q !=0, ou seja M tem apenas um autovalor nulo. Agora observe que o autovetor relativo a esse autovalor é (1,1,1). Então temos M*v = 0 => v pertence ao subespaço gerado por (1,1,1), ou seja o núcleo de M. Porém esse núcleo é ortogonal ao plano (x+y+z) = 0. Portanto a única solução é a trivial, (0,0,0). Ou observe que um cara (x,y,z) do subespaço gerado por (1,1,1) tem x=y=z, que somado ao fato x+y+z = 0 nos dá x=y=z=0, que é o que queríamos provar.
