Nossa, quantas soluções bacanas! Eu pensei nessa aqui:
Sejam a - d, a, a + d os lados do triângulo. Então o raio da circunferência
inscrita é r = S/p, em que S é a área e p = (a-d + a + a+d)/2 = 3a/2 é o
semiperímetro. Mas S = ah/2, sendo h a altura relativa ao lado de medida a.
Assim, r = ah/3a = h/3, ou seja, o incentro está a 1/3 da altura de distância
do
lado de medida a. Mas o baricentro também está a essa mesma altura, porque
divide a mediana na razão 2:1. Isso quer dizer que a reta que liga o baricentro
e o incentro é paralela ao lado de medida a. Assim, o segmento que liga esses
dois centros é igual a 2/3 do segmento que liga o ponto médio ao pé da
bissetriz
no lado de medida a, que é 2/3(a/2 - a(a-d)/(a-d+a+d)) = d/3.
[]'s
Shine
________________________________
From: Luís Lopes <qed_te...@hotmail.com>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Fri, July 16, 2010 11:31:23 AM
Subject: RE: [obm-l] Geometria Olimpica
Sauda,c~oes,
Seria legal conhecer outras soluções dos membros
da lista e da própria OBM.
Seguem outra solução de ND e correções de APH.
[]'s
Luis
=====
Lemma 1:
In every triangle:
Lemma 1:
GI^2 = (bc+ca+ab)/3 - (a^2+b^2+c^2)/9 - 4Rr
Lemma 2:
If 2b = a + c [: b = a+d, c = a+2d ] ==> ac = 6Rr
L1 /\ L2 ==> 9GI^2 = b^2 - ac = (a+d)^2 - a(a+2d) = d^2
==> GI = d/3
APH
======
Dear Tuan,
very good!
Another proof with vectors:
We have
GA + GB + GC = 0
a.IA + b.IB + c.IC = 0 or
(a + b + c).IG + a.GA + b.GB + c.GC = 0 or
3b.IG + (a - b)GA + (c - b)GC = 0 or
3b.IG = d.(GA - GC) = d.CA
and hence |IG| = |CA|.d/3b = d/3.
Best regards
Nikos Dergiades
________________________________
From: qed_te...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Geometria Olimpica
Date: Thu, 15 Jul 2010 20:06:14 +0000
Sauda,c~oes,
Três soluções de um outro grupo.
[]'s
Luis
====== 1)
> Dear Luis,
> Let b = a + d, c = b + d, or a + c = 2b
> then s = (a + b + c) / 2 = 3b/2, s - b = b/2 and since
> s.r = (s - b) rb we get that rb = 3r
> where r, rb are the radi of incircle and B_excircle.
>
> The line IG has equation in barycentrics
> (b - c)x + (c - a)y + (a - b)z = 0 or
> -x + 2y - z = 0 and meets the line BC at D (0 : 1 : 2)
> which means that BD/DC = 2 and the line IG is
> parallel to AC. If M is the midpoint of AC and the
> line BI meets AC at J then
> CJ = ab/(a + c) = a/2
> MJ = b/2 - a/2 = d/2 and
> GI = 2MJ/3 = d/3.
>
> The Nagel point Na is known that lies on line IG
> and if BNa meets AC at K then
> AK = s - c = 3b/2 - c and
> KM = AM - AK = b/2 - (3b/2 - c) = c - b = d
> Hence NaG = 2KM/3 = 2d/3
>
> Best regards
> Nikos Dergiades
====== 2)
Dear Luis
Lemma 1:
In every triangle:
GI^2 = (bc+ca+ab)/3 - (a^2+b^2+c2)/9 - 4Rr
Lemma 2:
If 2b = a + c [: a = b+d, c = b+2d ] ==> ac = 6Rr
L1 /\ L2 ==> 9GI^2 = b^2 - 3ac = (c-a)^2 ==>
3GI = c-a = d ==> GI = d/3
APH
====== 3)
Dear Luis and Nikos,
We can solve the problem by construction triangle ABC (b = a+d = c-d) as
following:
Choose b = AC as one segment.
X as any point on segment AC and CX = d.
X1 = reflection of X in C
X2 = reflection of X in midpoint of AC
B = intersection of two circles centered at C passing X2 and centered at A
passing X1
Y1 = midpoint of BX1
Y2 = midpoint of BX2
A1 = midpoint of BC
C1 = midpoint of AB
I = intesection of AY1 and CY2
G = intesection of AA1 and CC1
From this construction: GI//AC and
GI = 2/3*A1Y1 = 2/3*1/2*CX1 = 1/3*CX1 = d/3
Best regards,
Bui Quang Tuan
________________________________
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Geometria Olimpica
Date: Tue, 13 Jul 2010 21:51:15 +0000
Muito ´´bonito´´ mesmo.Seria muito interessante ver soluções diferentes
postadas aqui neste fabuloso espaço.
________________________________
Date: Tue, 13 Jul 2010 14:36:06 -0700
From: luizfelipec...@yahoo.com.br
Subject: RE: [obm-l] Geometria Olimpica
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Estou enviando, pois achei o problema muito "bonito".
Abs
Felipe
--- Em ter, 13/7/10, Thiago Tarraf Varella <thiago_...@hotmail.com> escreveu:
>De: Thiago Tarraf Varella <thiago_...@hotmail.com>
>Assunto: RE: [obm-l] Geometria Olimpica
>Para: "OBM Lista" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Data: Terça-feira, 13 de Julho de 2010, 13:57
>
>
> Você está apenas comentando com agente pois achou ele legal ou você quer
> ajuda
>na resolução?
>
>Thiago
>
>________________________________
Date: Mon, 12 Jul 2010 10:48:57 -0700
>From: luizfelipec...@yahoo.com.br
>Subject: [obm-l] Geometria Olimpica
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
>
>
>Pessoal,
>
>Segue problema da OBM :
>
>Os lados de um triângulo qualquer estão em uma P.A de razão r. Calcular a
>distância do incentro ao baricentro deste triangulo, em função de r.
>
>Abs
>Felipe
>
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