On 01/09/2010 20:04, ennius wrote:
Amigos da Lista,
Peço-lhes uma demonstração do teorema abaixo:
--- Escrevendo-se em ordem crescente (decrescente) os divisores naturais de um
número natural n (diferente de zero), o produto dos termos equidistantes dos
extremos é igual a n. Além disso, se o número de divisores for ímpar, o termo
central da sequência obtida é a raiz quadrada de n. ---
Na verdade isto tem mais a ver com combinatória do que com teoria dos
números...
1 - Se d é divisor de N, então N/d também é divisor de N. Ademais, se
d1<d2 então N/d1 > N/d2.
Se N não for quadrado perfeito, não tem como acontecer algo do tipo
N/d=d. Logo, podemos parear cada d com seu N/d, e se arranjarmos os d em
ordem crescente, os N/d correspondentes estarão em ordem decrescente. Ou
seja, se ordenarmos a sequencia, os caras que estavam lado-a-lado ficam
equidistantes. Veja um exemplo: N=20
1 -- 20
2 -- 10
4 -- 5
2 - Bem, se o cara for quadrado perfeito, terá um cara pareado com ele
mesmo. Veja para N=16:
1 -- 16
2 -- 8
4 -- 4
É isso! A formalização é meio chata, mas segue esta ideia.
Meu abraço a todos!!!
Ennius Lima
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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