Muitíssimo obrigado e boas festas!
Em 20 de dezembro de 2010 23:11, Eduardo Beltrao <e-...@ig.com.br> escreveu: > Prezado Marcelo, > Após algum tempo solucionando o problema proposto, cheguei a uma > resposta muito próxima da que você postou aqui. A solução transcrevo abaixo, > porém peço para que verifique se o resultado correto é realmente (OG)^2 = > R^2 - 1/3*(A^2 + B^2 + C^2), e não (OG)^2 = R^2 - 1/9*(A^2 + B^2 + C^2). > > Atenciosamente, > > Eduardo Beltrão > > _____________ > > Sejam AB = c, AC = b e BC = a os lados do triângulo ABC. > Sejam M, N e P os pontos médios de BC, AC e AB, respectivamente. > > OBS: Para efeito de visualização, considere BC o lado do triângulo mais > próximo do centro O do círculo. > Observe que o triângulo OMC é retângulo, e assim: > (OM)^2 + (CM)^2 = (OC)^2 ( I ) > > No triângulo AMC temos que, pela lei dos cossenos: > (AC)^2 = (AM)^2 + (CM)^2 - 2*(AM)*(CM)*cos(A^MC) ( II ) > > Também pela lei dos cossenos, temos, no triângulo ABM, que: > (AB)^2 = (AM)^2 + (BM)^2 - 2*(AM)*(BM)*cos(180º - A^MC) ( III ) > > Em ( III ), como M é ponto médio de BC temos: > (AB)^2 = (AM)^2 + (CM)^2 + 2*(AM)*(CM)*cos(A^MC) ( IV ) > > Somando membro a membro as equações ( II ) e ( IV ), temos: > (AC)^2 + (AB)^2 = 2*(AM)^2 + 2*(CM)^2 > (AM)^2 = [(AC)^2 + (AB)^2 - 2*(CM)^2]/2 ( V ) > > Como G é baricentro do triângulo ABC, então: > GM = (AM)/3 ( VI ) > > No triângulo OBM temos, pela lei dos cossenos: > (OA)^2 = (OM)^2 + (AM)^2 - 2*(OM)*(AM)*cos(O^MA) ( VII ) > > Também pela lei dos cossenos, no triângulo OGM, temos: > (OG)^2 = (OM)^2 + (GAM)^2 - 2*(OM)*(GM)*cos(O^MG) ( VIII ) > > Observe que os ângulos O^MA e O^MG são iguais, pois A e G são pontos do > mesmo segmento AM. Assim, manipulando as equações (VII) e (VIII) temos: > [(OM)^2 + (AM)^2 - (OA)^2]/AM = [(OM)^2 + (GM)^2 - (OG)^2]/GM ( IX > ) > > Substituindo (I) e (VI) em (IX), temos: > (OC)^2 - (CM)^2 + (AM)^2 - (OA)^2 = 3*[(OC)^2 - (CM)^2 + ((AM)/3)^2 - > (OG)^2] > (OC)^2 - (CM)^2 + (AM)^2 - (OA)^2 = 3*(OC)^2 - 3*(CM)^2 + [(AM)^2]/3 - > 3*(OG)^2 > > Como OA = OC = R, temos: > R^2 - (CM)^2 + (AM)^2 - R^2 = 3*(R^2) - 3*(CM)^2 + [(AM)^2]/3 - 3*(OG)^2 > (AM)^2 - (CM)^2 = 3*(R^2) - 3*(CM)^2 + [(AM)^2]/3 - 3*(OG)^2 ( X > ) > > por fim, substituindo (V) em (X), temos: > [(AC)^2 + (AB)^2 - 2*(CM)^2]/2 - (CM)^2 = 3*(R^2) - 3*(CM)^2 + [(AC)^2 + > (AB)^2 - 2*(CM)^2]/6 - 3*(OG)^2 > > Manipulando a equação acima, de modo a isolar o termo (OC)^2, temos que: > (OG)^2 = R^2 - (a^2 + b^2 + c^2)/9 > > > Em 17 de dezembro de 2010 07:39, Marcelo Costa <mat.mo...@gmail.com>escreveu: > > CONSIDERE UM TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO ABC, CUJOS OS LADOS MEDEM A, B e C, >> INSCRITO NUM CÍRUCULO DE RAIO R E CENTRO O. >> SENDO G O BARICENTRO DO TRIÂNGULO ABC, MOSTRE QUE: >> (OG)^2 = R^2 - 1/3*(A^2 + B^2 + C^2) >> >> >> AGRADEÇO DESDE JÁ A ATENÇÃO DOS COLEGAS, OBRIGADO! >> > >
