From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira) Date: Wed, 19 Jan 2011 21:27:00 +0000 Muito obrigado.Será que é muito complicado provar que mdc( a^2+b^2,4ab+1) = 1? Date: Wed, 19 Jan 2011 03:05:19 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira) From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Marcone,expandindo temos: (a^2 + b^2)x^2 - (4ab + 1)x + a^2 + b^2 = 0 Supondo a^2 + b^2 != 0, temos: x^2 - (4ab+1)/(a^2+b^2) x + 1 = 0 Seja k a raiz inteira. Temos que k^2 - (4ab+1)/(a^2+b^2) k + 1 = 0 Como k^2 e 1 são inteiros, temos que ter (4ab+1)/(a^2+b^2) k inteiro. Assim, temos que: a^2+b^2 | (4ab+1)k. Seja w sua outra raiz. Então: (i) k + w = (4ab + 1)/(a^2+b^2) (ii) k*w = 1 Por (ii), se descobrirmos k, sabemos w. Acho que temos que trabalhar com: a^2+b^2 | (4ab+1)k Será que temos mdc(a^2+b^2, 4ab+1) = 1? Se sim, acho que acabamos, visto que ficamos com: a^2+b^2 | k. Da equação original, temos: (a^2 + b^2)k^2 - (4ab + 1)k + a^2 + b^2 = 0. Dividindo por k, temos: (a^2+b^2)k - (4ab+1) + (a^2+b^2)/k = 0. De onde tiramos que k | a^2+b^2. Mas, se k | a^2+b^2 e a^2+b^2 | k, temos que k = a^2+b^2. Assim, w = 1/(a^2+b^2). Substituindo na equação original, ficamos com: (a^2 + b^2)(a^2+b^2)^2 - (4ab + 1)(a^2+b^2) + a^2 + b^2 = 0 Dividindo por a^2+b^2, temos: (a^2 + b^2)^2 - (4ab+1) + 1 = 0 (a^2 + b^2)^2 = 4ab As únicas soluções inteiras de (a^2+b^2)^2 = 4ab são: (a, b) \in { (0, 0), (1, 1), (-1, -1) } (0, 0) não pode ser. Caso 1: (1, 1) Logo, k = 2, w = 1/2. Pode testar que funciona, pois 2(x-1)^2 = x tem raízes 2 e 1/2. Caso 2: (-1, -1) Logo, k = 2, w = 1/2. Mas não funciona, visto que: 2(x+1)^2 = x não tem solução! 2x^2 + 4x + 2 = x 2x^2 + 3x + 2 = 0 Delta = 9 - 4*2*2 < 0, logo, não tem raízes reais. Bom, tudo isso supondo que mdc(a^2+b^2, 4ab+1) = 1. Ainda falta provar isso :) Se não for verdadeiro, ignore tudo o que escrevi! hehehe Abraços, Salhab 2011/1/9 marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com> Sejam a,b números inteiros .Sabendo que a equação (ax - b)^2 + ( bx - a)^2 = x tem uma raiz inteira,encontre os valores de suas raizes. Conto com a habitual atenção de todos,pela qual agradeço antecipadamente.
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marcone augusto araújo borges Wed, 19 Jan 2011 14:09:11 -0800
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