Bem, supondo a expansão em torno de 0, para facilitar. Conforme sabemos, para
todo x (real ou complexo),
sen(x) = x - x^3/3! + x^5/ 5!....+ (-1)^(n + 1) x^(2n - 1)/(2n -1)!..... n
=1,2,3....
Assim, sen(x) é dado por uma série de potências que, conforme sabemos, converge
em todo o plano complexo (logo, em toda a reta real). Não importa como se
defina a função seno (a definição mais usual, no caso complexo, é justamente
por esta série de potências). Todas as definições levam a Roma, onde, no caso,
Roma é esta série de potências. Agora, a convergência (absoluta) da série não é
definição, é de fato comprovada, seja pelo teste da razão, pelo da raiz, etc.
Na série acima, x está fixo, o que varia é o n. Sabemos da teoria de limites em
geral que, se dividirmos todos os termos de uma série convergente por uma
constante k não nula, então a nova série converge para o limite da original
dividido por k. Mesmo se k for complexo. E se a convergência da série original
for absoluta, a da nova série também absoluta será. Logo, dado que a nossa
série converge para sen(x) e que x não depende de n, dividindo-se todos os
termos por x <>0 concluímos que
sen(x)/x = 1 - x^2/3! + x^4/4! ...+ x^(2n - 2)/(2n -1)!..... que é também uma
série de potências
Agora, veja que, da forma como trabalhamos, isto só faz sentido para x <> 0.
Entretanto, vemos que a série no segundo membro aplica-se a x = 0 e, neste
caso, converge trivialmente para 1. Podemos assim definir uma função f, em todo
o plano complexo, pela série de potências
f(x) = 1 - x^2/3! + x^4/4! ...+ x^(2n - 2)/(2n -1)!.....
e temos que
f(x) = sen(x)/x, sw x <>)
f(0) = 1.
f é uma função analítica em todo o plano complexo. Logo, infinatamente
diferenciável, com suas derivada sendo a séria das derivadas em relação a x dos
termos que definem f(x). Como f é contínua em todo o C, segue-se que lim (x
--> 0) f(x) = f(0) = 1, do que deduzimos que, no plano complexo, lim (x --> 0)
sen(x)/x = 1. Esta é, talvez, a forma mais rigorosa de mostrarmos este famoso
limite. A demonstração baseada na definição de seno pelo círculo trigonométrico
considera, usualmente, as desigualdades |sen(x| <= |x| <= |tan x|, as quais
são então provadas pela Geometria Euclidiana. Com base no postulado de que a
menor dsitância entre 2 pontos é o segmento de reta que os une (e reta também é
consierado um conceito fundamental). O problema é que estas definições baseiam
-se no conceito de comprimento, então considerado fundamental. Mas, numa
análise mais profunda, comprimentos são definidos por integrais de linha.
Artur
> Date: Thu, 10 Mar 2011 17:36:27 +0100
> Subject: Re: [obm-l] senx/x
> From: bernardo...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> 2011/3/10 Joel Castro <joelcastr...@yahoo.com.br>:
> >
> > qual a expansão em série de taylor p/ senx/x?
> Você sabe achar a expansão de sen(x) ? Se for o caso, basta dividir
> termo a termo por x !! (Isso é um teorema, prove...). Enfim, eu estou
> assumindo que você quer a expansão em torno de x=0. Se for outra coisa
> (por exemplo, em torno de x = 4pi/3), a coisa complica um pouquinho...
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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