2011/4/4 Julio César Saldaña <saldana...@pucp.edu.pe>:
> Oi Samuel e Bernardo, desculpem , acho que eu tinha entendido mal o conceito
> de
> distância.
Oi Julio,
> Só para conferir
>
> Se tenho dos círculos de radio 1, e os centros etão ém (0,0) e (0,3), então a
> distância entre eles seria: 5, isso é correto?
>
> Acho que eu tinha interpretado errado e achava que distância nesse exemplo é
> 1.
Vamos lá, com calma. A definição, pra começar:
h(A,B) = inf { r , para cada x em A, existe y em B tq d(x,y) < r e
para cada y em B, existe x em A tq d(x,y) < r}
Ou seja, para todo ponto a de A, você tem um ponto b_a (ou seja, que
pode mudar em função de a) em B a distância menor ou igual a h(A,B) (o
problema do inf é que muda os quantificadores), e o mesmo com b em B,
e um ponto a_b em A. (Aqui, você usa que os conjuntos são compactos
para garantir a desigualdade no limite). O melhor é separar a
definição em "distância de A até B" e "distância de B até A", cada uma
sendo uma das metades, e ver que como a gente exige que o "r" valha
para os dois, então temos que h(A,B) é o máximo dessas duas distâncias
(que não são simétricas, por isso que a gente não as usa)
Se você tem o seu círculo em (0,0) de raio 1 (ele é o meu A), o ponto
"mais longe" do outro círculo (o B) é (-1,0), mas para todo r > 3
existe um ponto (o (2,0) para ser mais exato) que está a uma distância
menor do que r de (-1,0). Os outros pontos (a,b) têm pontos (a+3,b)
correspondentes no outro círculo também, de forma que a "distância de
A até B" é 3. Como a figura é simétrica, a distância (tal como
definida pelo Samuel) é 3.
Para dar um exemplo um pouco mais interessante, veja que se A =
segmento [0,1] e B = segmento [2,20], a "distância de A até B" como eu
defini é 2 porque todo ponto em A está a uma distância <= a 2 do
[2,20]. Por outro lado, a "distância de B até A" é 19, porque o ponto
20 está a uma distância de 19 do 1, que é o ponto mais próximo do A.
Agora, de volta ao problema:
Uma forma interessante de ver essa definição da h(A,B) é a seguinte:
defina a "distância entre x e A" (um conjunto) como a menor distância
entre x e um ponto de A, ou seja, d(x, A) = inf{ d(x,a) / a pertence a
A}. Note que essa distância é sempre realizada quando A é um conjunto
fechado, porque você pode pegar uma seqüência decrescente de
distâncias, e os pontos que as realizam formam uma seqüência em A,
logo qualquer limite está em A, e porque elas estão a uma distância <
constante, isso dá um compacto, donde você pode extrair uma
subseqüência.
Agora, defina d(A -> B) = sup{ d(a,B) / a pertence a A} = "distância
de A até B", e h(A,B) = max{d(A -> B), d(B -> A)}. Isso quer dizer que
B inter {vizinhança de espessura r > h(A,B) em volta de A} é não vazio
para todo r, e reciprocamente em A e B. Repare que não é o mesmo que
pedir que B esteja contido na "bola em volta de A" de raio r. ("bola
em volta de A" = vizinhança de espessura r = conjunto dos pontos cuja
distância a A é menor do que r).
Agora, para concluir o problema, vai uma dica: use a desigualdade
triangular original, mais o fato que h(A,B) < r te dá um ponto em B
para cada ponto de A, e o mesmo para h(B,C) < s para fazer pontos em
C. E depois dê uma jogada de epsilon/2 e pode partir pro abraço.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================
