[obm-l] FW: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria)

[marcone augusto araújo borges]

 


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To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria)
Date: Thu, 21 Apr 2011 16:05:12 +0000





 O João está certo.E minha pergunta no final foi se basta provar que DOIS lados 
opostos são paralelos e congruentes.Um abraço.


Date: Wed, 20 Apr 2011 23:10:44 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria)
From: hfernande...@gmail.com
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Não entendi bem sua solução, João.

Pelo que diz o enunciado, os vértices do trapézio são os pontos médios de um 
quadrilátero convexo.
Da maneira como você fez, parece que você considerou o quadrilátero formado 
pelos pontos médios dos lados do trapézio.
É isso mesmo, ou estou enganado?

Abs.

Hugo.


Em 20 de abril de 2011 20:38, João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com> 
escreveu:


Na verdade basta provar que os lados opostos são iguais, automaticamente serão 
paralelos. 
Todo uqadrilátero com lados    opostos iguais é um paralelogramo.


Prova:
Faça dois lados (a e b) de um quadrilátero qualquer saindo de um vértice V. 
Para que os lados opostos sejm iguais podemos traçar uma circunferência a 
partir do fim dos lados a e b, com raio igual ao lado oposto. Desse modo 
teríamos 2 circunferências, que se intersectam em 2 pontos. Um dos pontos gera 
uma configuração de quadrilátero não convexo, a  outra gera um quadrilátero 
convexo. Logo os lados são paralelos.


Mas voltando ao problema,




Fazendo o trapézio ABCD com lados paralelos AB e CD. Os pontos médios de AB=X, 
BC=Y, CD=Z, DA=W. A altura do trapézio h que parte de A intersecta CD em P e a 
altura do trapézio que parte de B instersecta CD em Q (neste caso fazendo P e Q 
dentro do segmento CD (fica para você provar quando um está fora). Chamando 
AB/2 de d, PD de a e QC de b, temos que:
1) Em relação a CD, a coordenada y de W é  h/2, e a coordenada x é (2d+a+b)/2 - 
a/2 = d+b/2
2) Em relação a AB (que é paralela a CD), logo em relação      a CD, a 
coordenada y de W é h/2 e a coordenada x é d+b/2, logo os Ângulos formados com  
AB são iguais e as retas WZ e XY são paralelas e de mesma  medida
Analogamente para YZ e WX.


Logo se trata de um paralelogramo




[]'s
João








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Subject: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria)
Date: Wed, 20 Apr 2011 22:06:10 +0000


Prove que um quadrilatero convexo cujos vertices sao os pontos medios dos lados 
de um trapezio qualquer é um paralelogramo
Bastaria provar que dos lados opostos são paralelos e congruentes?