Considere a(n) uma solução de f(n+1) = 2f(n) Há infinitas soluções para tal, mas a(n) sempre será uma PG de razão 2. Assim, uma solução é a(n) = 1.2^(n-1)
Vamos promover a mudança de variável f(n) = g(n).a(n) Assim, f(n+1) = 2f(n) + 3 se transforma em g(n+1).a(n+1) = 2.g(n).a(n) + 3 g(n+1).2^n = 2.g(n).2^(n-1) + 3 g(n+1).2^n = g(n).2^n + 3 g(n+1) = g(n) + 3.2^(-n) Portanto, g(1) = g(0) + 3.1 g(2) = g(1) + 3.(1/2) g(3) = g(2) + 3.(1/4) ........................... g(n) = g(n-1) + 3.(1/2^(n-1)) Somando: g(n) = g(0) + 3.(1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^(n-1)) g(n) = g(0) + 3.[1/2^n - 1]/[1/2 - 1] g(n) = g(0) - 6.[1/2^n - 1] Note que f(0) = g(0).a(0) ==> 0 = g(0).2^(-1) ==> g(0) = 0 g(n) = 6.[1 - 1/2^n] g(n) = 6.[2^n - 1]/2^n f(n) = a(n).g(n) = 2^(n-1) . 6.[2^n - 1]/2^n f(n) = 6.[2^n - 1]/2 f(n) = 3.[2^n - 1] Em 6 de maio de 2011 12:43, Julio Teixeira <jcesarp...@gmail.com> escreveu: > Pessoal, a um tempo acho que vi essa questao aki e por acaso, ontem me > deparei com ela em alguns foruns, e o pessoal estava com dificuldades..entao > vou por aki a minha resolucao.. > > questao 157 do Vol. 1 da colecao do G. Iezzi - Fundamentos de matematica > elemtentar > > 157 - Seja f uma funcao, definida no conjunto dos numeros naturais, tal > que, f(n+1)=2f(n) +3 > com f(0) = 0. Achar a formula geral de f(n) e prova-la por inducao.. > > equacao: f(n+1)=2f(n) + 3 e f(0)=0 > > para.. > n=0 => f(0+1)=2f(0)+3 => f(1)=3 > n=1 => f(1+1)=2f(1)+3 => f(2)=9 > n=2 => f(2+1)=2f(2)+3 => f(3)=21 > n=3 => f(3+1)=2f(3)+3 => f(4)=45 > n=4 => f(4+1)=2f(4)+3 => f(5)=93 > > observando os valores retornado pelas imagens e pondo em produto de um > fator por 3.. > f(1)=3 => f(1)=3*1 > f(2)=9 => f(2)=3*3 > f(3)=21 => f(3)=3*7 > f(4)=45 => f(4)=3*15 > f(5)=93 => f(5)=3*31 > > agora observando os segundos fatores dos produtos acima nas imagens... > comecamos com 1, depois 3, depois 7, e.... > > assim temos: > a diferenca entre 3 e 1 = 2 > a diferenca entre 7 e 3 = 4 > a diferenca entre 15 e 7 = 8 > a diferenca entre 31 e 15 = 16 > > obrservando essas diferencas, nota-se que temos uma PG, de razao 2, e com o > primeiro termo sendo igual a 1 > > assim a formula ja comeca a ficar evidente.. sendo 3 vezes essas > diferencas... > > agora se montarmos essa PG, teremos.. > > a1 = 1 > a2 = 2 > a3 = 4 > a4 = 8 > a5 = 16 > > opa.. entao a proxima observacao a ser feita eh que, com os resultados > obtidos temos que,por exemplo, > f(1)=3*( a1 de nossa PG) > f(2)=3*( a soma de a1 com o a2 de nossa PG) > f(3)=3*( a soma de a1 com o a2 e a3 de nossa PG) > f(4)=3*( a soma de a1 com o a2 e a3 e a4 de nossa PG) > > agora a formula do somatorio de nossa PG seria: > Sn = a1 * (q^n - 1)/ (q - 1) > > onde substituindo, obteriamos: > 2^n -1 > > agora deduzimos entao que a formula geral seria: f(n)= 3 * ( 2^n - 1) > > para provarmos por inducao, vamos provar que eh valido para n=1 > f(1) = 3 * ( 2^1 -1) > f(1) = 3 * ( 1 ) => f(1) = 3 ( OK, provamos para n=1 ) > > agora substituimos por n, por um k, qualquer e obtemos: > f(k)= 3 * (2^k -1) > > agora substituimos por k+1 > f(k+1)= 3 * (2^(k+1) -1) > > ok, agora note que se pegarmos a formula inicial e aplicarmos n=k, > obteremos o seguinte.. > f(k+1)=2 * f(k) + 3 > > ja que obtemos f(k+1) de nossa formula e f(k+1) da formula original, para > provarmos que descobrimos a formula geral > entao o resultado de f(k+1), tem que ser igual, assim tb testamos se eh > valida para qualquer elemento, provando isso para qualquer sucessor de k, ou > seja (k+1) > entao temos o seguinte.. > f(k)= 3 * (2^k -1) > f(k+1)= 3 * (2^(k+1) -1) > f(k+1)=2 * f(k) + 3 > > agora igualando os f(k+1), obtemos.. > 2 * f(k) + 3 = 3 * (2^(k+1) -1) > substituindo f(k), pelo valor conhecido tb.. ( da nossa formula geral ) > 2 * (3 * (2^k -1)) + 3 = 3 * (2^(k+1) -1) > 6 * (2^k -1) + 3 = 3 * (2^(k+1)) -3 > agora, dividimos amobs os lados por 3 > 2 * (2^k -1) + 1 = 2^(k+1) - 1 > 2^(k+1) -2 + 1 = 2^(k+1) - 1 > 2^(k+1) - 1 = 2^(k+1) - 1 (OK) > obtemos assim, a nossa prova... > > > > >
