Boa Tarde a todos, Do livro de AC Morgaado, ..... Dado um triângulo ABC, seja X, Y, Z pontos em A, B, C respectivamente, tal que o perímetro de XYZ é mínimo, temos NECESSARIAMENTE que:a) X,Y,Z são os pés das bissetrizes de ABCb) X,Y,Z são os pés das medianas de ABCc) X,Y,Z são os pés das alturas de ABCd) XYZ é um triângulo equiláteroe) NRA
Minha (quase) resolução: Primeiro temos que ter em mente o seguinte teorema:As altuas de um triângulo são bissetrizes de seu triângulo órticoProva: No triângulo ABC, Ha, Hb, Hc os pés das alturas de A,B,C respectivamente, H seu ortocentroa = <HHaHc, b = <HHaHb, a' = <HBA, b' = <HCA 1) BHaHHc é inscritível, logo a = a'2) CHaHHb é inscritível, logo b = b'3) a' = b' pois possuem o mesmo complemento A, logo4) a = b Analogamente para os outros, segue a prova do teorema. Voltando para o problema original, façamos XYZ, temos que se <HXY é diferente de <HXZ, <XYZ não tem perímetro mínimo, já que a menor distância entre Y e Z passando por A é o ponto X em que <HXY = <HXZ (lei da reflexão)** Logo se algum ângulo do triângulo XYZ não seguir a afirmação acima, XYZ não é mínimo, logo temos que <HXY = <HXZ, <HYX = <HYZ, <HZX = <HZY, ou seja, H é incentro de XYZ. Falta a simples prova de que o único triângulo em que H é incentro e cujos vértices estã nos lados de ABC é o triângulo órtico. Alguém pode me ajudar, além disso Aí vai outro problema (para quem se interessar) Em um triângulo de lados a,b,c , calcule o perímetro de seu triângulo órtico []'s João
