2011/9/8 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>: > Deixa eu reformular a pergunta > Uma pergunta de física no ITA consiste em calcular a energia dissipada > por um resistor num circuito RC série (não se preocupe, vou fazer a parte > física)
[...Física...] > Primeiramente achei a expressão: > Integral[i.dt] = (U0-i.R) A E0 /d Uma coisa que ajudaria bastante a resolver esse tipo de questão é "se livrar das constantes". É claro que você não pode fazer isso "de qualquer forma", mas veja que U0, R, A, E0 e d são constantes (e é \epsilon_0 para a permissividade do vácuo, logo seria melhor chamar de e0 , eu fiquei um tempo achando que era energia armazenada inicial...) então o que você quer na verdade é resolver Integral i(t) dt = a - b*i (com a = U0 A E0 /d e b = R A E0 / d) O que *ainda* não é preciso o suficiente, e eu vou interpretar (dada a forma como você continuou) que é: Integral, de t=0 até t=T de i(t) dt = a - b * i(T) > Derivando os 2 lados > i.dt = (- RE0A/d) di e derivando dos dois lados a fórmula anterior (com relação a T, que é uma variável da minha fórmula, note que t é a variável de integração, ela não "existe" do lado de fora da integral para podermos derivar!!) temos realmente i(T) = - b di/dT (T) que é a fórmula que você obteve, com dependência explícita da variável (e menos explícita das constantes... cada chato com sua mania, eu faço questão de escrever todas as variáveis para não confundir as coisas) > dt = (-RE0A/d) di/i Só para continuar o paralelo, dT = -b di / i(T) > Integrando > t = (-R.E0.A/d).ln|i| é aqui que "faltou" a sua constante (como você mesmo adivinhou). Como eu estou com uma variável diferente, tenho que achar mais uma variável de tempo. Como acabaram os t, eu vou usar s (de "segundos" se você quiser) Integral de T=0 até T=s dT = Integral de i=i(0) até i=i(s) -b di/i Note que a segunda fórmula contém *também* uma mudança de variáveis, antes era uma integral de T=0 até T=s de uma função que só dependia de i, e assim a gente troca a integral em T por uma integral em i, e compõe os limites da integral. Continuando, temos s - 0 = -b ( ln(i(s)) - ln(i(0)) ) Ou seja ln(i(s)) = -s/b + ln(i(0)) Ora, i(0) é a corrente inicial, que é de qualquer forma Tensão/Resistência, mas acontece que nós *conhecemos* a Tensão inicial (e a resistência não muda), e portanto i(0) = U0 / R. Tomando exponenciais, i(s) = U0/R * exp(-s/b) > i = e^(-t.d/R.E0.A) > Substituindo C = E0.A/d > i = e^(-t/RC) > Quando t = 0,teríamos i = 1, o que é um absurdo > pois quando t = 0, i = U0/R O que confirma que eu e você temos a mesma idéia da corrente inicial :)) > Já que a integral sempre despreza a constante final, pensei que talvez > houvesse algo que ainda não está na fórmulla, até porque ao > substituirmos i na equação original, > Integral[i.dt] = (U0-i.R) A E0 /d > > fica sobrando U0.C > Talvez algo do tipo U0/R e^(-t/RC) resolvesse o problema (t = 0, i = > U0/R), ou talvez não tem nada haver, mas em qualquer caso, como posso > resolver essa integral? Nada *a* *ver*, no que toca o português. Em matemática, por outro lado, tem *tudo* a ver. Faz parte do conhecimento habitual (universitário...) que soluções de equações diferenciais lineares formam um espaço vetorial. Como a equação que você obtém é realmente linear, tudo ok. Assim, ao achar uma solução, você apenas tem que "acertar qual é o múltiplo correto" que dá a solução para a condição inicial que você tem. Repare que isso *só* vale para equações diferenciais lineares, que são bastante comuns, mas longe de serem todas que há! Comentário final: tudo o que você fez tá bem certinho, mas faltou só prestar atenção em como "carregar a constante" ao longo das contas. Lembre que quando você integra, tem que "carregar uma constante" dos *dois* lados da equação. Muitas vezes (principalmente em exercícios) um dos lados será zero, mas na vida real, provavelmente os dois lados serão não nulos, e é sempre melhor você ter constantes "com sentido" do que ter apenas uma constante de um dos lados da equação. Ainda mais que, se for o caso de uma equação diferencial não-linear, a dependência com as constantes é beeeem mais complicada (mas também é bem menos provável que você consiga integrar explicitamente como a gente fez aqui, então....) > []'s > João Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
