Obrigado, Bernardo, pela bela resposta.
O autor estabelece as seguintes definições:
--- a<=b significa que b = a + u, para algum natural u.
--- a<b significa que b = a + u, sendo u um natural diferente de zero.
Creio que eu poderia, portanto, escrever:
Se a<b, então b = a + u (u é qualquer natural)
u = 1 + v (v é qualquer natural)
Logo: b = (a +1) + v e, portanto:
a+1 é menor ou igual a b.
Obs.: As propriedades da adição de naturais já estavam, nesse ponto,
estabelecidas no livro.
Você acha que fica bom assim?
Um abraço do Paulo!
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> Date: Thu, 10 Nov 2011 23:45:53 +0100
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Propriedade da relação de ordem
> From: bernardo...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> 2011/11/10 Paulo Argolo <pauloarg...@bol.com.br>:
> > Caros Colegas,
> >
> > Como provar a propriedade O_7 da página 110 do livro Fundamentos de
> > Aritmética, de Hygino Domingues?
> >
> > O_7) Se a é menor do que b, então a+1 é menor ou igual a b (a e b são
> > números naturais)
>
> Eu não tenho o livro, mas acho que uma coisa dessas só dá para provar
> por indução.
>
> Como justamente eu não tenho o livro, eu não sei exatamente como ele
> definiu a relação a < b, nem como ele definiu os naturais. Seguindo as
> minhas memórias, eu acho que é mais ou menos assim :
>
> Primeiro, você decreta que o zero (0) existe. Em seguida, você define
> N como sendo um conjunto (na verdade, "o MENOR conjunto", para poder
> usar o princípio de indução) contendo zero e uma aplicação s: N -> N,
> injetiva, cuja imagem é N - {0}. A função "s" é chamada de sucessor.
>
> Daí, você define 1, 2, ... como s(0), s(s(0)), e assim por diante.
>
> Você define a soma a + b por indução também. Veja como: a + 0 é (por
> definição) igual a a. a + s(n) = s(a + n) define a soma por indução,
> já que todos os outros naturais não nulos se escrevem como s(n) para
> algum natural, e de forma única (injetividade de s). Com isso, dá pra
> mostrar que a soma é comutativa. (no fim do mail)
>
> Enfim, você define a <= b se b = a + n para algum natural n. a < b se
> a <= b e a é diferente de b.
>
> Muito bem, com todas essas definições (dadas meio rápido, porque eu
> acho que deveria ter no livro; se você quiser detalhes, diga!!) acho
> que dá pra tentar provar o que você quer.
>
> Seja a < b. Isso quer dizer que b = a + n pela nossa definição de "<".
> Além disso, como a é diferente de b, n não é zero. Como n não é zero,
> temos que n está na imagem de s, portanto n = s(m) para algum m
> natural. Assim, temos que
> b = a + s(m) = s(a + m) (definição da soma)
> = s(m + a) (comutatividade)
> = m + s(a) (definição da soma)
> = s(a) + m (comutatividade)
>
> Assim, b = s(a) + m, ou seja, s(a) <= b (note que aqui não sabemos se
> m é diferente de zero). s(a) = a + 1 por definição. (Lembre que
> DEFINIMOS 1 como sendo uma "abreviação" de s(0))
>
>
> Prova que a soma é comutativa, para completar :
>
> Queremos provar que para todos os naturais a e b, a + b = b + a.
> Vamos fazer uma dupla indução em a e b (a única forma de demonstrar
> esse tipo de coisas...). Primeiro, vejamos a base.
> 0 + 0 = 0 + 0, sem problemas.
> a = a + 0 (definição de "somar zero"). Vejamos que 0 + a = a.
> 0 + 1 = 0 + s(0) = s(0 + 0) = s(0) = 1. Ok
> Por indução agora, 0 + s(a) = s(0 + a) = s(a) (porque 0 + a = a pela
> hipótese de indução).
> Agora que já sabemos que a + 0 = a = 0 + a, vamos fazer a indução em b.
> a + s(b) = s(a + b) = s(b + a) = b + s(a). Falta "só" mostrar que b +
> s(a) = s(b) + a para acabar.
>
> Veja que b + s(0) = s(b + 0) = s(b) = s(b) + 0, então a propriedade
> acima é válida para todos os b e para a = 0.
> Tentando a recorrência em a:
> b + s(s(a)) = s(b + s(a)) (definição da soma)
> = s(s(b) + a) (indução em a da propriedade)
> = s(b) + s(a) (definição da soma)
>
> É isso, espero que a última parte não esteja longa desnecessariamente.
> É meio "lento" porque você só pode converter somas em s() de um jeito:
> a + s(b) é igual (por definição) a s(a + b), mas não é a definição
> s(a) + b = s(a+b), então a gente não pode usar sem provar.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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