Considere que a soma dos senos é p/R.
Fixe uma circunferência e considere todos os triângulos inscritos.
A soma dos senos será máxima quando o perímetro for máximo.
Ok.
Fixe um lado do triângulo e varie sobre a circunferência o vértice oposto.
O perímetro do triângulo será máximo quando os dois lados que estavam
variando forem iguais. Repetindo o mesmo para os outros lados, o
máximo do perímetro ocorre quando o triângulo inscrito for equilátero.
A soma máxima dos senos é
3.sqrt(3)/2.
Quoting Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>:
Procure "derivadas parciais". :)
2011/11/24 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>
Recentemente vi um problema na lista sobre como calcular a soma dos 3
senos de um triângulo, em que a resposta foi p/R
Fiquei pensando então qual deveria ser o valor máximo para esta soma
Fiz assim:
Dada uma circunferência de raio R, e um dos lados do triângulo, que
chamaremos de w, temos necessariamente que um ângulo (que chamaremos de
W) já está determinado, o valor máximo de p então seria o valor máximo
da soma dos outros lados.
Como a² + b² - 2abcosW = w² -> (a+b)² - 2ab(1+co sW) = w²
Como w.h/2 = a.b.senW/2, temos que ab = h.w/senW
Logo (a+b)² = w² + 2hw(1+cosW)/senW
Como o lado e o ângulo já estão determinados, e 1+cosW>0 e senW>0, o
valor máximo de a+b se dá no valor máximo da altura, vem que o triângulo
é isósceles
E fazendo y = 90-w/2
Daí a soma dos 3 senos é 2sen(y) + sen(2y) que derivando dá 2(cos(y) +
cos(2y) e igualando a 0
2cos²(y) + cos(y) - 1 = 0 -> cos(y) = 1/2 ou -1
Substituindo temos que o valor máximo é cos(y) = 1/2 e a soma vale
3(3)^(1/2)/2
Queria saber se há alguma derivada de 2 variáveis, no caso a e b que
desse o valor máximo se sen(a) + sen(b) + sen(a+b)
Já ouvi falar em integral dupla (na verdade só ouvi falar, não faço a
mínima idéia do que seja, mas pensei que tivesse alguma coisa a ver com a
integral de 2 variáveis)
Entretanto procurei derivada dupla no google e não encontrei nada
Existe isso?
[]'s
João
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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