Você tem razão. A minha ideia não sei se posso aplicar. Assim: Se uma superfície é homeomorfa a um toro então existe um campo diferenciável de vetores que nunca se anula? No toro eu consigo isso, pensei que como são homeomorfas e são superfícies, as cartas locais me serviriam de difeos locais.. Portanto teria um difeo global entre o toro e essa superfície. Aplicaria a diferencial nesse campo no toro e obteria um campo que nunca se anula na superfície.Mas para isso precisaria de um difeo global. Acho que não fiz certo.
O que você acha? > Date: Thu, 24 Nov 2011 23:41:46 +0100 > Subject: Re: [obm-l] difeomorfismo > From: bernardo...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > 2011/11/24 Samuel Wainer <sswai...@hotmail.com>: > > Se duas superfícies são homeomorfas e localmente difeomorfas elas são > > globalmente difeomorfas? > > > > Fiquei pensando isso pois a característica de ser diferenciável é local. > Depende do que você quer dizer. Eu pensei assim: existe f: X-> Y um > homeomorfismo, e para todo aberto de X, existe um aberto de Y que lhe > é difeomorfo (e reciprocamente). Essa afirmação é verdadeira para > superfícies, mas não em dimensão (um pouco) maior. O exemplo > "clássico" são as "esferas exóticas de Milnor", que são todas > homeomorfas à esfera S^7 mas que não são globalmente difeomorfas, > mesmo sendo todas variedades diferenciáveis e portanto localmente > difeomorfas à R^7. > > Por outro lado, a existência de um *único* difeomorfismo local g: X-> > Y que também seja um homeomorfismo implica (por definição) que é um > difeomorfismo global, portanto acho que não é isso que você quer > saber... Além da interpretação que eu dei (existe um homeomorfismo f: > X -> Y e uma família g_alfa : U_alfa -> Y de difeomorfismos locais > cuja união das imagens é Y) temos algo intermediário, a saber, a > existência de f: X -> Y homeomorfismo e de g: X -> Y um difeomorfismo > local. Repare que não é verdade que g seja um difeomorfismo global > (use a aplicação z -> z^2 no círculo unitário de C, que é um difeo > local), e também nada se pode dizer sobre a regularidade de f. Eu acho > que a saída é via recobrimentos universais (que vai dizer que "mais ou > menos" a única coisa possível para g é ser como z -> z^n já que X é > homeomorfa a Y, e portanto tem o mesmo grupo fundamental). Vou ver se > eu penso em alguma coisa até amanhã... > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =========================================================================
